39 Calcule d rho se rho=e^theta / 2 sen(theta-phi), theta=0, phi=pi / 2, d theta=0,2, e d phi=-0,2.

Passo 1

O enunciado pede o diferencial de rho definida por
rho = e^theta/2sen(theta - phi),
no ponto theta=0, phi=pi/2 e com dtheta=0,2, dphi=-0,2.
O conteúdo é cálculo de diferencial total de função de duas variáveis. Vamos usar
drho = partial rhopartial theta,dtheta + partial rhopartial phi,dphi

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
partial rhopartial theta = partialpartial thetal(e^theta/2sen(theta-phi)r) = e^theta/2l(tfrac12sen(theta-phi)+cos(theta-phi)r),
partial rhopartial phi = partialpartial phil(e^theta/2sen(theta-phi)r) = -,e^theta/2cos(theta-phi)

Passo 3

Agora avaliamos em theta=0, phi=pi/2. Nesse ponto
theta-phi= -pi/2, logo
sen(-pi/2)=-1 e cos(-pi/2)=0, e e^theta/2=e^0=1.
Portanto
partial rhopartial theta|(0,pi/2) = 1l(tfrac12cdot(-1)+0r) = -tfrac12,
partial rhopartial phi|(0,pi/2) = -1cdot 0 = 0

Passo 4

Substituindo em
drho = partial rhopartial theta,dtheta + partial rhopartial phi,dphi
temos
drho = l(-tfrac12r)cdot(0,2) + 0cdot(-0,2) = -0,1

Resposta

-0,1

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