A concentração da bactéria E. coli em uma área de natação é monitorada depois de uma tempestade:
4 8 12 16 20 24
1590 1320 1000 900 650 560
O tempo é medido em horas depois do final da tempestade e a unidade UFC é uma “unidade de formação de colônias”. Use esses dados para fazer uma estimativa (a) da concentração no final da tempestade ( ) e (b) do instante no qual a concentração atingirá 200 UFC/ 100 mL . Observe que sua escolha do modelo deveria ser consistente com o fato de que uma concentração negativa é impossível e que a concentração de bactérias sempre decresce com o tempo.

Passo 1

O enunciado dá as medidas da concentração de E. coli em função do tempo após a tempestade:
c|cccccc t (h) & 4 & 8 & 12 & 16 & 20 & 24hline c (UFC/100,mL) & 1590 & 1320 & 1000 & 900 & 650 & 560
Queremos estimar (a) c(0) e (b) o instante t em que c=200.
Como a concentração decresce e não pode ficar negativa, escolhemos o modelo de decaimento exponencial
c(t)=A,e^-k,t,
pois mantém c(t)>0 para todo t e reproduz monotonicidade decrescente.

Passo 2

Aplicamos transformação logarítmica para linearizar o modelo:
ln c(t)=ln A - k,t
Calculamos ln ci para cada ponto e as médias
bart = 4+8+12+16+20+246=14, ln c=16sumi=1^6ln ciapprox6,845
Em seguida, computamos as somas
Stln c=sumi(ti-bart)l(ln ci-ln cr)approx -14,896,
Stt=sumi(ti-bart)^2=280
O coeficiente angular da reta ln c vs.\ t é
slope=-k=Stln cSttapprox -0,0532 Longrightarrow kapprox0,0532
O intercepto é
ln A=ln c+k,bartapprox6,845+0,0532cdot14=7,590

Passo 3

Daí A=e^7,590approx1980. Logo, a estimativa para a concentração no instante t=0 é
c(0)=Aapprox1980(UFC/100,mL)

Passo 4

Para achar o tempo em que c(t)=200, resolvemos
200 = A,e^-k,t Longrightarrow e^-k,t=2001980,
-k,t = lnl(200/1980r) Longrightarrow t = 1kln!l(tfrac1980200r) approx10,0532cdot2,293approx43,1 h

Resposta

(a) c(0)approx1980 UFC/ 100 mL
(b) tapprox43,1 h após o fim da tempestade.

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