Ajuste uma equação cúbica aos seguintes dados:
3 4 5 7 8 9 11 12
1,6 3,6 4,4 3,4 2,2 2,8 3,8 4,6
Junto com os coeficientes, determine e .

Passo 1

O enunciado pede para ajustar uma equação cúbica
hat y = a + b,x + c,x^2 + d,x^3
aos oito pontos dados e, em seguida, calcular o coeficiente de determinação r^2 e o erro-padrão de ajuste sy/x.
O conteúdo necessário é a regressão por mínimos quadrados para polinômio de grau 3, que exige montar e resolver o sistema normal de quatro equações lineares, e depois usar as somas dos quadrados para r^2 e sy/x.

Passo 2

Calcular todos os somatórios necessários:
n&=8, sum x &=3+4+5+7+8+9+11+12 =59, sum y &=1,6+3,6+4,4+3,4+2,2+2,8+3,8+4,6 =26,4, sum x^2 &=509, sum x^3 =4859, sum x^4 =49397, sum x^5 &=522899, sum x^6 =5689229, sum x,y &=204,8, sum x^2y =1838,4, sum x^3y =18164

Passo 3

Montar o sistema normal nabla L=0:
8a +59b +509c +4859d =26,4, 59a+509b+4859c+49397d=204,8, 509a+4859b+49397c+522899d=1838,4, 4859a+49397b+522899c+5689229d=18164

Passo 4

Resolver o sistema por eliminação de Gauss (detalhes algébricos omitidos para brevidade) e encontrar
aapprox -10,698, bapprox 6,782, capprox -0,989, dapprox 0,04437

Passo 5

Com o polinômio hat yi calculado em cada xi, computar
bar y = 18sum yi =3,3,
SST=sum (yi-bar y)^2=7,600, SSE=sum (yi-hat yi)^2approx1,340,
SSR=SST-SSEapprox6,260
Aí vem
r^2=SSRSSTapprox6,2607,600approx0,824,
e o erro-padrão
sy/x=raizSSEn-(deg+1)=raiz1,3408-4approxraiz0,335approx0,579

Resposta

hat y=-10,698+6,782,x-0,989,x^2+0,04437,x^3, r^2approx0,824, sy/xapprox0,579

Exercícios de Livros Relacionados