Considere o problema de programação linear:
Maximize f(x, y)=6 x+8 y
sujeito a
& 5 x+2 y <= 40 & 6 x+6 y <= 60 & 2 x+4 y <= 32 & x >= 0 & y >= 0
Obtenha a solução:
(a) Graficamente.
(b) Usando o método simplex.
(c) Usando um pacote ou biblioteca de software apropriado (por exemplo, Excel, MATLAB ou IMSL).

Passo 1

O problema é de programação linear no plano (x,y) que pede
Maximizar
f(x,y)=6x+8y
sujeito a
5x+2y&<=40, 6x+6y&<=60, 2x+4y&<=32, x&>=0, y>=0
Conteúdo: método dos vértices (gráfico), método simplex com variáveis de folga e uso de software (por exemplo MATLAB ou Excel Solver).

Passo 2

Pela abordagem gráfica, encontramos os vértices da região factível resolvendo pares de restrições:
1. Intersecção de 5x+2y=40 e 6x+6y=60
x=203, y=103
2. Intersecção de 6x+6y=60 e 2x+4y=32
x=4, y=6
3. Intersecção de 5x+2y=40 e 2x+4y=32 (6,5), mas essa ponto viola 6x+6y<=60, logo é excluído.
4. Eixos: (8,0) e (0,8), mais (0,0).
Agora calculamos f nesses vértices:
f(0,0)&=0, f(8,0)&=48, fl(tfrac203,tfrac103r)&=2003approx66,67, f(4,6)&=6cdot4+8cdot6=72, f(0,8)&=64
O maior valor é 72 em (x,y)=(4,6).

Passo 3

Pelo método simplex, introduzimos folgas s1,s2,s3 e montamos a tabela inicial:
c|ccccc|c & x & y & s1 & s2 & s3 & RHShline (1) &5&2&1&0&0&40 (2) &6&6&0&1&0&60 (3) &2&4&0&0&1&32hline z-linha&-6&-8&0&0&0&0
1. Entrada de y (mais negativa -8), razão mínima 32/4=8 to pivô na linha 3.
2. Após o pivô em y, nova tabela tem custo reduzido de x=-2, então x entra. Razão mínima na linha 2 ( 12/3=4) to pivô em x.
3. Na solução básica final obtemos
x=4, y=6, z=72,
com todas as reduções não negativas, portanto ótimo.

Passo 4

Usando um pacote de software (por exemplo, no MATLAB):
tt[x,fval] = linprog([-6,-8],[5,2;6,6;2,4],[40;60;32],[],[],[0;0],[]);
retorna ttx=[4;6] e ttfval=-72, ou seja, fmax=72 em (4,6). Em Excel Solver basta definir a função alvo 6x+8y, as restrições dadas e escolher “Max”.

Resposta

A solução ótima é
x^*=4, y^*=6, fmax=72

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