Você foi contratado para desenhar um poço cônico com cobertura para armazenar de dejetos líquidos. Assuma o custo da escavação como 100 / \mathrm{m}^{3} $50 / \mathrm{m}^{2} $ 25 / \mathrm{m}^{2} õççãçã45^{\circ}$.

Passo 1

O problema pede projetar um poço cônico de volume fixo ,V=50m^3, minimizando o custo total que é a soma de três parcelas:
– escavação: $100 por metro cúbico,
– revestimento lateral: $50 por metro quadrado,
– cobertura (base do cone): $25 por metro quadrado.
Para modelar, usamos a geometria do cone:
V = 13pi r^2 h = 50,
área lateral
Alat = pi r raizr^2 + h^2,
e área da cobertura
Acov = pi r^2

Passo 2

Escrevendo o custo total C(r,h):
C = 100cdot V ;+;50cdot Alat;+;25cdot Acov =100l(tfrac13pi r^2hr)+50,pi rraizr^2+h^2+25,pi r^2
Como 100cdot13pi r^2h=100cdot50=5000 (constante), impomos
h=150pi r^2,
para obter C em função só de r:
C(r)=5000 ;+;50pi,rraizr^2+l(tfrac150pi r^2r)^2 ;+;25pi,r^2

Passo 3

Para o caso (a) tomamos r>0 livre e fazemos C'(r)=0. Após diferenciar e simplificar chega-se à equação em x=r^6:
3x^2-5A^2x+A^4=0, A=150pi,
cuja solução positiva relevante é
r^6 = A^2,5-raiz136 Longrightarrow r = l[A^2,tfrac5-raiz136r]^1/6
Em seguida
h=150pi,r^2

Passo 4

Calculando numericamente:
A=150piapprox47,746, rapprox2,84m, happrox5,91m
Esse par (r,h) minimiza o custo sem restrição de inclinação.

Passo 5

Para o caso (b) a inclinação lateral (ângulo do perfil do cone com o solo) não pode exceder 45^circ, o que força
tantheta=hr<=1 ;Longrightarrow; h<= r
A solução crítica cai fora dessa região ( h>r), logo o mínimo ocorre na fronteira h=r. Da restrição de volume
13pi r^3 =50 Longrightarrow r^3=150pi Longrightarrow r=h=l(tfrac150pir)^1/3 approx3,63m

Resposta

(a) rapprox2,84m,;happrox5,91m
(b) r=happroxl(150/pir)^1/3approx3,63m

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