Você foi contratado para desenhar um poço cônico com cobertura para armazenar
de dejetos líquidos. Assuma o custo da escavação como
100 / \mathrm{m}^{3}
$50 / \mathrm{m}^{2}
$ 25 / \mathrm{m}^{2}
45^{\circ}$.
Passo 1
O problema pede projetar um poço cônico de volume fixo
, minimizando o custo total que é a soma de três parcelas:
– escavação: por metro cúbico,
– revestimento lateral: por metro quadrado,
– cobertura (base do cone): por metro quadrado.
Para modelar, usamos a geometria do cone:
– escavação:
– revestimento lateral:
– cobertura (base do cone):
Para modelar, usamos a geometria do cone:
área lateral
e área da cobertura
Passo 2
Escrevendo o custo total
:
Como
(constante), impomos
para obter
em função só de
:
Passo 3
Para o caso (a) tomamos
livre e fazemos
. Após diferenciar e simplificar chega-se à equação em
:
cuja solução positiva relevante é
Em seguida
Passo 4
Calculando numericamente:
Esse par
minimiza o custo sem restrição de inclinação.
Passo 5
Para o caso (b) a inclinação lateral (ângulo do perfil do cone com o solo) não pode exceder
, o que força
A solução crítica cai fora dessa região (
), logo o mínimo ocorre na fronteira
. Da restrição de volume
Resposta
(a)
(b)
(b)