Considere o problema de programação linear:
Maximize
sujeito a
Obtenha a solução:
(a) Graficamente.
(b) Usando o método simplex.
(c) Usando um pacote ou biblioteca de software apropriado (por exemplo, Excel, MATLAB ou IMSL).
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de programação linear
sujeito a
Vamos (a) achar graficamente os vértices da região factível e avaliar f; (b) montar e executar o método simplex; (c) verificar o resultado num pacote de software.
Passo 2
Encontramos os pontos de interseção dos limites e dos eixos:
dá [\approx(2,796,;4,731)).
Resolver
\(\begin{cases}1,2x+2,25y=14\\\ 2,5x+y=9\end{cases}\] dá \[\bigl(\tfrac{250}{177},\tfrac{968}{177}\bigr)\approx(1,413,\;5,468)\).
Resolver
.
Passo 3
Verificamos quais desses pontos satisfazem todas as restrições (região factível) e calculamos f(x,y)=1,75x+1,25y: bul<=t (0,0) to f=0 bul<=t (3,6,0) to f=1,75cdot3,6+1,25cdot0=6,30 bul<=t (0,6,222) to f=1,75cdot0+1,25cdot6,222=7,78 bul<=t l(1,413,5,468r) to f=1,75cdot1,413+1,25cdot5,468approx9,308
Os outros candidatos violam alguma restrição.
No método simplex, introduzimos folgas s1,s2,s3 e montamos a tabela inicial com base viável (x,y,s1,s2,s3)=(0,0,14,8,9). Observa-se que cx=1,75 é o maior coeficiente, entra x. A razão mínima indica que sai s3. Fazemos o pivô na linha de s3 e coluna de x, atualizamos a tabela.
Passo 6
Após o primeiro pivô, há ainda custo reduzido positivo para y, entra y e sai s1. O segundo pivô produz uma base ótima sem custos reduzidos positivos. O resultado da última tabela é
x=250177, y=968177, f=9,308
Passo 7
Usando software (por exemplo, Excel Solver ou MATLAB com linprog), obtém-se a mesma solução:
xapprox1,413, yapprox5,468, fmaxapprox9,308
Resposta
(a) Pelo gráfico: (x,y)approx(1,413,5,468), fapprox9,308.
(b) Pelo método simplex: (x,y)=(250/177,968/177), f=9,308.
(c) Por pacote de software: idem, xapprox1,413, yapprox5,468, fapprox9,308.
Cálculo Numérico - Steven C. Chapra, Raymond P. Canale - Métodos Numéricos para Engenharia - 5ª Edição - Capítulo 15.Problemas - Ex. 15.3