9.5 Dado o sistema de equações
-1,1 x1+10 x2=120
-2 x1+17,4 x2=174
(a) Resolva graficamente e verifique os resultados substituindo-os nas equações.
(b) Baseado no resultado gráfico, o que você espera em relação ao condicionamento do sistema?
(c) Calcule o determinante.
(d) Resolva por eliminação de variáveis.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear de duas equações e duas incógnitas:
Os itens pedem (a) resolução gráfica e verificação, (b) comentário sobre o condicionamento, (c) cálculo do determinante e (d) resolução por eliminação de variáveis.

Passo 2

Para resolver graficamente, determinamos os interceptos de cada reta:
– Em -1,1,x1+10,x2=120:
bul<=t x1=0implies x2=120/10=12.
bul<=t x2=0implies x1=120/(-1,1)approx -109,09.
– Em -2,x1+17,4,x2=174:
bul<=t x1=0implies x2=174/17,4=10.
bul<=t x2=0implies x1=174/(-2)=-87.
As duas retas são quase paralelas; a interseção fica bem longe dos eixos. A estimativa gráfica do ponto de corte é
(x1,x2)approx(404,65;56,51)

Passo 3

Verificamos substituindo (x1,x2)approx(404,65;56,51):
– Na primeira equação:
-1,1cdot404,65 + 10cdot56,51 approx -445,115 + 565,1 = 119,985approx120
– Na segunda equação:
-2cdot404,65 + 17,4cdot56,51 approx -809,3 + 983,474 = 174,174approx174
Os erros de arredondamento são pequenos, confirmando a solução.

Passo 4

Como as retas são quase paralelas, o determinante da matriz dos coeficientes é pequeno. Logo, pequenas variações nos dados provocam grandes variações na solução. Concluímos que o sistema é mal condicionado.

Passo 5

O determinante é
D = -1,1 & 10 -2 & 17,4 = (-1,1) cdot 17,4 - (-2) cdot 10 = -19,14 + 20 = 0,86

Passo 6

Resolução por eliminação (isolando x1 na primeira equação e substituindo na segunda):
-1,1,x1 = 120 - 10,x2 ;implies; x1 = -120 - 10,x21,1 = -1201,1 + 101,1,x2 approx -109,09 + 9,09,x2
Substituindo em -2,x1+17,4,x2=174:
-2l(-109,09 + 9,09,x2r) + 17,4,x2 = 174 ;implies; 218,18 -18,18,x2 +17,4,x2 = 174 ;implies; -0,78,x2 = -44,18 ;implies; x2 approx 56,64
Substituindo de volta em x1approx -109,09+9,09cdot56,64, obtemos
x1approx404,65

Resposta

(a) (x1, x2) approx (404,65; 56,51).
(b) O sistema é mal condicionado, pois as retas são quase paralelas (determinante pequeno).
(c) det = 0,86.
(d) Pela eliminação: x2 approx 56,64 e x1 approx 404,65.

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