9.2 Diversas matrizes são definidas a seguir
[A]=\left[ ll4 & 7 1 & 2 5 & 6\right] \quad[B]=\left[ lll4 & 3 & 7 1 & 2 & 7 2 & 0 & 4\right]
{C}=\left{ l3 6 1\right} \quad[D]=\left[ cccc9 & 4 & 3 & -6 2 & -1 & 7 & 5\right]
[E]=\left[ lll1 & 5 & 8 7 & 2 & 3 4 & 0 & 6\right]
[F]=\left[ lll3 & 0 & 1 1 & 7 & 3\right]
Responda às seguintes questões em relação a essas matrizes:
(a) Quais as dimensões dessas matrizes?
(b) Identifique as matrizes quadrada,linha e coluna.
(c) Qual o valor dos elementos:a₁₂, b₂₃, d₃₂, e₂₂, f₁₂, g₁₂ ?
(d) Efetue as seguintes operações:
(1) [E]+[B]
(2) [A]+[F]
(3) [B]-[E]
(4) 7 ×[B]
(5) [E] ×[B]
(6) {C}ᵀ
(7) [B] ×[A]
(8) [D]ᵀ
(9) [A] ×{C}
(10) [I] ×[B]
(11) [E]ᵀ[E]
(12) {C}ᵀ{C}

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes
A=4 & 7 1 & 2 5 & 6,; B=4 & 3 & 7 1 & 2 & 7 2 & 0 & 4,; C=3 6 1,; D=9 & 4 & 3 & -6 2 & -1 & 7 & 5,
E=1 & 5 & 8 7 & 2 & 3 4 & 0 & 6,; F=3 & 0 & 1 1 & 7 & 3
Precisamos: (a) dimensões, (b) quais são quadrada/linha/coluna, (c) valores de certos elementos, (d) executar várias operações (soma, subtração, escalar, produto, transposta, identidade).

Passo 2

(a) Determinar o número de linhas e colunas de cada matriz:
A tem 3 linhas e 2 colunas Rightarrow dimensão 3times2.
B tem 3 linhas e 3 colunas Rightarrow dimensão 3times3.
C tem 3 linhas e 1 coluna Rightarrow dimensão 3times1.
D tem 2 linhas e 4 colunas Rightarrow dimensão 2times4.
E tem 3 linhas e 3 colunas Rightarrow dimensão 3times3.
F tem 2 linhas e 3 colunas Rightarrow dimensão 2times3.

Passo 3

(b) Identificar tipo de cada matriz:
– Quadradas (mesmo número de linhas e colunas): B e E.
– Coluna ( 1 coluna): C.
– Linha ( 1 linha): nenhuma das dadas tem apenas 1 linha.
As outras (A, D, F) são retangulares não-quadradas.

Passo 4

(c) Valores dos elementos pedidos:
a12: linha 1, coluna 2 de A to 7.
b23: linha 2, coluna 3 de B to 7.
d32: não existe ( D tem só 2 linhas ).
e22: linha 2, coluna 2 de E to 2.
f12: linha 1, coluna 2 de F to 0.
g12: indefinido, pois matriz G não foi dada.

Passo 5

(d 1) E + B. Ambas são 3times3, somamos termo a termo:
E + B = 1+4 & 5+3 & 8+7 [6pt]7+1 & 2+2 & 3+7 [6pt]4+2 & 0+0 & 6+4 = 5 & 8 & 15 8 & 4 & 10 6 & 0 & 10 ]

Passo 6

(d 2) A + F. A é 3times2 e F é 2times3; não têm mesmas dimensões to soma impossível.

Passo 7

(d 3) B - E. Ambas 3times3:
B - E = 4-1 & 3-5 & 7-8 [4pt]1-7 & 2-2 & 7-3 [4pt]2-4 & 0-0 & 4-6 = 3 & -2 & -1 -6 & 0 & 4 -2 & 0 & -2 ]

Passo 8

(d 4) 7times B (multiplicação escalar):
7B = 28 & 21 & 49 7 & 14 & 49 14 & 0 & 28

Passo 9

(d 5) Etimes B. Produto de 3times3 por 3times3:
E,B = 25 & 13 & 74 36 & 25 & 75 28 & 12 & 52

Passo 10

(d 6) ,C^T. Transposta de 3times1 vira 1times3:
C^T = 3 & 6 & 1

Passo 11

(d 7) Btimes A. B é 3times3, A é 3times2 to resultado 3times2:
B,A = 54 & 76 41 & 53 28 & 38

Passo 12

(d 8) D^T. Transposta de 2times4 vira 4times2:
D^T = 9 & 2 4 & -1 3 & 7 -6 & 5

Passo 13

(d 9) Atimes C. A é 3times2, C é 3times1; 2neq 3to produto impossível.

Passo 14

(d 10) [I]times B. Tomamos I3 (identidade 3times3). I3B = B.

Passo 15

(d 11) E^TE. Ambas 3times3, produto é 3times3:
E^TE = 66 & 19 & 53 19 & 29 & 46 53 & 46 & 109

Passo 16

(d 12) C^TC. C^T é 1times3, C é 3times1, dá escalar 1times1:
C^TC = 3^2 + 6^2 + 1^2 = 46

Resposta

(a) Dimensões:
A: 3times2, B: 3times3, C: 3times1, D: 2times4, E: 3times3, F: 2times3.
(b) Quadradas: B, E. Coluna: C. Linha: nenhuma.
(c)
a12=7,;b23=7,;d32! não existe ( D tem só 2 linhas ),
e22=2,;f12=0,;g12 indefinido ( G não foi dado ).
(d)
( 1) E+B=5&8&158&4&106&0&10
( 2) A+F impossível (dif. dimensões)
( 3) B-E=3&-2&-1-6&0&4-2&0&-2
( 4) 7B=28&21&497&14&4914&0&28
( 5) E,B=25&13&7436&25&7528&12&52
( 6) C^T=[3;6;1]
( 7) B,A=54&7641&5328&38
( 8) D^T=9&24&-13&7-6&5
( 9) A,C impossível (cols de A neqrows de C)
( 10) I3B = B
( 11) E^TE=66&19&5319&29&4653&46&109
( 12) C^TC=46

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