Determine se cada seqüência converge ou diverge, se a seqüência convergir, encontre seu limite.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede para determinar se ela converge ou diverge quando
. Se convergir, devemos encontrar
. Isso envolve análise de limites de sequências e, neste caso, observar o comportamento do numerador
.
Passo 2
Note que o numerador alterna conforme
é par ou ímpar. Vamos definir duas subsequências:
Passo 3
Simplificando cada uma:
Passo 4
Agora calculamos os limites dessas subsequências:
Passo 5
Como ambas as subsequências (índices pares e ímpares) convergem para o mesmo valor
, a sequência completa
converge e seu limite é
.
Resposta
A sequência converge e