Determine se cada seqüência converge ou diverge, se a seqüência convergir, encontre seu limite.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a sequência
.
O conteúdo é sequência numérica e vamos usar o Teorema do Confronto para decidir se ela converge e, em caso afirmativo, achar seu limite.
O conteúdo é sequência numérica e vamos usar o Teorema do Confronto para decidir se ela converge e, em caso afirmativo, achar seu limite.
Passo 2
Sabemos que a função cosseno é limitada, ou seja, para todo número real
vale
.
Em particular, para todo inteiro positivo
.
Em particular, para todo
Passo 3
Como
para
, podemos dividir a desigualdade por
sem inverter sinal, obtendo
As duas sequências de contorno,
e
, têm limite zero quando
.
Passo 4
Pelo Teorema do Confronto, a sequência
também converge para o mesmo valor dos limites de contorno, ou seja,
Resposta
A sequência converge e seu limite é
.