Determine qual(is) das matrizes a seguir são (i) simétrica, (ii) singular, (iii) estritamente diagonal dominante, (iv) definida positiva.
\left[ \begin{array}{rrrr}4 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 7 & 0 & 0 \\ 9 & 11 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar na matriz
A = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\[6pt] 6 & 7 & 0 & 0 \\[6pt] 9 & 11 & 1 & 0 \\[6pt] 5 & 4 & 1 & 1 \end{pmatrix}
quais das seguintes propriedades ela satisfaz:
(i) ser simétrica;
(ii) ser singular;
(iii) ser estritamente diagonal dominante;
(iv) ser definida positiva.
Para isso vamos usar:
– a comparação de A com A^T para simetria;
– o cálculo do determinante para singularidade;
– a definição de dominância diagonal estrita;
– o fato de que apenas matrizes simétricas podem ser definidas positivas.]

Passo 2

Verificando se A é simétrica:
uma matriz é simétrica se A = A^T. Aqui, por exemplo, a_{21}=6 mas a_{12}=0. Logo
A \neq A^T
e A não é simétrica.

Passo 3

Verificando se A é singular:
como todos os elementos acima da diagonal principal são zero, A é triangular inferior e
\det(A) = 4 \cdot 7 \cdot 1 \cdot 1 = 28 \neq 0.
Como o determinante é não nulo, A é invertível e, portanto, não é singular.

Passo 4

Verificando dominância diagonal estrita:
a condição é, para cada linha i,
\lvert a_{ii}\rvert > \sum_{j\neq i} \lvert a_{ij}\rvert.
– Linha 1: \lvert4\rvert > 0+0+0 (ok).
– Linha 2: \lvert7\rvert > 6+0+0 (ok).
– Linha 3: \lvert1\rvert > 9+11+0 (não, pois 1 \not>20).
Logo falha na linha 3 e não é estritamente diagonal dominante.

Passo 5

Verificando definida positiva:
uma matriz definida positiva deve ser simétrica e satisfazer x^T A x>0 para todo x\neq0. Como A já não é simétrica, ela não pode ser definida positiva.

Resposta

A matriz não é (i) simétrica, não é (ii) singular, não é (iii) estritamente diagonal dominante e não é (iv) definida positiva.

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