Determine qual(is) das matrizes a seguir são (i) simétrica, (ii) singular, (iii) estritamente diagonal dominante, (iv) definida positiva.
\left[
\right]
\left[
Passo 1
Temos a matriz
Precisamos verificar quatro propriedades:
- Simetria:
? - Singularidade:
? - Dominância diagonal estrita:
em cada linha ? - Definição positiva:
para todo (e simétrica).
Passo 2
Verificamos simetria comparando
com
.
Em particular,
Em particular,
logo
. Portanto
ou seja,
não é simétrica.
Passo 3
Calculamos o determinante para checar singularidade. Usando a primeira linha:
Agora,
Logo
Como
,
não é singular.
Passo 4
Verificamos dominância diagonal estrita linha a linha:
- Linha 1:
e soma dos outros . Como , ok. - Linha 2:
e . Como , ok. - Linha 3:
e . Como , ok.
Portanto, é estritamente diagonal dominante.
Passo 5
Para ser definida positiva,
deve ser simétrica e satisfazer
. Mas já vimos que
não é simétrica, logo não pode ser definida positiva.
Resposta
(i) simétrica? Não
(ii) singular? Não
(iii) estritamente diagonal dominante? Sim
(iv) definida positiva? Não
(ii) singular? Não
(iii) estritamente diagonal dominante? Sim
(iv) definida positiva? Não