Determine qual(is) das matrizes a seguir são (i) simétrica, (ii) singular, (iii) estritamente diagonal dominante, (iv) definida positiva.
\left[ \begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 4\end{array}\right]

Passo 1

Temos a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 3 & 2\\\\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}.
Precisamos verificar quatro propriedades:
  1. Simetria: A = A^T?
  2. Singularidade: \det(A)=0?
  3. Dominância diagonal estrita: |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}| em cada linha i?
  4. Definição positiva: x^T A x>0 para todo x\neq0 (e A simétrica).

Passo 2

Verificamos simetria comparando A com A^T.
Em particular,
a_{12}=1,\quad a_{21}=0,
logo a_{12}\neq a_{21}. Portanto
A\neq A^T,
ou seja, A não é simétrica.

Passo 3

Calculamos o determinante para checar singularidade. Usando a primeira linha:
\det(A) =2\det\begin{pmatrix}3&2\\\ 2&4\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}0&2\\\ 1&4\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Agora,
\det\begin{pmatrix}3&2\\\ 2&4\end{pmatrix}=3\cdot4-2\cdot2=12-4=8,
\det\begin{pmatrix}0&2\\\ 1&4\end{pmatrix}=0\cdot4-2\cdot1=-2.
Logo
\det(A)=2\cdot8 -1\cdot(-2)=16+2=18\neq0.
Como \det(A)\neq0, A não é singular.

Passo 4

Verificamos dominância diagonal estrita linha a linha:
  • Linha 1: |a_{11}|=|2|=2 e soma dos outros |1|+|0|=1. Como 2>1, ok.
  • Linha 2: |a_{22}|=|3|=3 e |0|+|2|=2. Como 3>2, ok.
  • Linha 3: |a_{33}|=|4|=4 e |1|+|2|=3. Como 4>3, ok.
    Portanto, A é estritamente diagonal dominante.

Passo 5

Para ser definida positiva, A deve ser simétrica e satisfazer x^T A x>0. Mas já vimos que A não é simétrica, logo não pode ser definida positiva.

Resposta

(i) simétrica? Não
(ii) singular? Não
(iii) estritamente diagonal dominante? Sim
(iv) definida positiva? Não

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