Determine qual(is) das matrizes a seguir são (i) simétrica, (ii) singular, (iii) estritamente diagonal dominante, (iv) definida positiva.
\left[ \begin{array}{rr}-2 & 1 \\ 1 & -3\end{array}\right]

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a matriz
A = \begin{pmatrix} -2 & 1\\\\ 1 & -3 \end{pmatrix}
Precisamos verificar se A é simétrica, se é singular, se é estritamente diagonal dominante e se é definida positiva.

Passo 2

Uma matriz é simétrica se a_{ij}=a_{ji} para todo i,j. Aqui a_{12}=1 e a_{21}=1, logo A é simétrica.

Passo 3

Para checar singularidade, calculamos o determinante:
\det(A)=(-2)\cdot(-3) - 1\cdot1 = 6 - 1 = 5.
Como \det(A)\neq 0, A não é singular.

Passo 4

A condição de estrita dominância diagonal exige, em cada linha i,
|a_{ii}| > \sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Na linha 1: |-2|=2 > |1|=1.
Na linha 2: |-3|=3 > |1|=1.
Portanto, A é estritamente diagonal dominante.

Passo 5

Para ser definida positiva, todos os menores principais devem ser positivos. O menor principal de ordem 1 é
a_{11} = -2,
que já falha em ser positivo. Assim, A não é definida positiva.

Resposta

(i) simétrica
(ii) não singular
(iii) estritamente diagonal dominante
(iv) não definida positiva

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