determine se a série dada converge ou diverge. Use o teste de Leibniz para séries alternadas para estabelecer a convergência sempre que este se aplicar.
sumk=1^infty ln k cos k pi

Passo 1

O enunciado pede análise da série
sumk=1^infty ln k cos kpi
Vamos usar teoria de séries alternadas e, em particular, verificar se o teste de Leibniz se aplica.

Passo 2

Note que cos kpi = (-1)^k, então o termo geral é
(-1)^k ln k
Isso mostra que a série é alternada nos sinais.

Passo 3

Para aplicar o teste de Leibniz precisaríamos que ln k fosse decrescente e que
limktoinftyln k = 0.
Mas ln k cresce com k e tende a +infty, logo
limktoinfty(-1)^k ln k neq 0
Como os termos não tendem a zero, a série não pode convergir.

Passo 4

Pelo teste da divergência, se lim ak neq 0 então sum ak diverge. Aqui
limktoinfty(-1)^kln kneq0, logo a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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