determine se a série dada converge ou diverge. Use o teste de Leibniz para séries alternadas para estabelecer a convergência sempre que este se aplicar.
sumk=1^infty(-1)^k+1 k+1k+7

Passo 1

O enunciado apresenta a série alternada
sumk=1^infty(-1)^k+1,k+1k+7
e pede para testarmos sua convergência, usando o teste de Leibniz sempre que possível. Vamos precisar (i) identificar o termo geral positivo
ak=k+1k+7, (ii) verificar limktoinftyak e (iii) checar se ak é monótono decrescente.

Passo 2

Calculamos o limite dos termos positivos:
limktoinftyk+1k+7 =limktoinfty1+tfrac1k1+tfrac7k =1
Como esse limite não é zero, a série não satisfaz a condição necessária de convergência (o termo geral não tende a zero), nem podemos aplicar o teste de Leibniz.

Passo 3

Pelo teste do termo geral, se limktoinfty(-1)^k+1akneq0, a série diverge. Aqui
limktoinfty(-1)^k+1k+1k+7
não existe como zero (os ak tendem a 1), portanto a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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