determine se a série dada converge ou diverge. Use o teste de Leibniz para séries alternadas para estabelecer a convergência sempre que este se aplicar.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
converge ou diverge, usando o teste de Leibniz para séries alternadas sempre que possível. Vamos tratar do teste de Leibniz, que é o conteúdo principal aqui.
Passo 2
Identificamos a parte alternada e a parte positiva da série. Definimos
de modo que o termo geral pode ser escrito como
. Isso mostra que a série é alternada, pois o sinal muda a cada
.
Passo 3
Verificamos as duas condições do teste de Leibniz:
-
é positivo para todo , pois . -
é monoticamente decrescente. Como aumenta com , temos ou seja, .
Passo 4
Ainda pelo teste de Leibniz, precisamos que
Como
quando
, realmente
.
Passo 5
Tendo
, decrescente e
, pelo teste de Leibniz concluímos que a série
converge.
Resposta
A série converge (convergência condicional pelo teste de Leibniz).