determine se a série dada converge ou diverge. Use o teste de Leibniz para séries alternadas para estabelecer a convergência sempre que este se aplicar.
sumk=0^infty (-1)^kln (k+2)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumk=0^infty (-1)^kln(k+2)
converge ou diverge, usando o teste de Leibniz para séries alternadas sempre que possível. Vamos tratar do teste de Leibniz, que é o conteúdo principal aqui.

Passo 2

Identificamos a parte alternada e a parte positiva da série. Definimos
bk = 1ln(k+2),
de modo que o termo geral pode ser escrito como (-1)^k,bk. Isso mostra que a série é alternada, pois o sinal muda a cada k.

Passo 3

Verificamos as duas condições do teste de Leibniz:
  1. bk é positivo para todo k>=0, pois ln(k+2)>0.
  2. bk é monoticamente decrescente. Como ln(k+2) aumenta com k, temos ln(k+2) < ln(k+3) Longrightarrow 1ln(k+2) > 1ln(k+3), ou seja, bk+1<bk.

Passo 4

Ainda pelo teste de Leibniz, precisamos que
limktoinfty bk = limktoinfty 1ln(k+2) = 0
Como ln(k+2)toinfty quando ktoinfty, realmente bkto0.

Passo 5

Tendo bk>0, decrescente e bkto0, pelo teste de Leibniz concluímos que a série
sumk=0^infty (-1)^k,bk
converge.

Resposta

A série converge (convergência condicional pelo teste de Leibniz).

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