determine se a série dada converge ou diverge. Use o teste de Leibniz para séries alternadas para estabelecer a convergência sempre que este se aplicar.
sumk=1^infty(-1)^k+1 ln (k+1)k raizk

Passo 1

O enunciado nos dá a série alternada
sumk=1^infty(-1)^k+1ln(k+1)kraizk,
onde definimos
bk = ln(k+1)kraizk
O conteúdo aqui é o teste de Leibniz para séries alternadas: precisamos verificar que bk>0, que (bk) é decrescente e que limktoinftybk=0.

Passo 2

Mostramos primeiro que
limktoinftybk =limktoinftyln(k+1)k^3/2 =0,
pois o numerador cresce como ln k e o denominador como k^3/2, que domina.

Passo 3

Para ver que bk é decrescente, considere a função
f(x)=ln(x+1)x^3/2, x>=1
Calculando a derivada:
f'(x) =x^3/2cdot1x+1-ln(x+1)cdot32x^1/2x^3 =x^-5/2l(tfracxx+1-tfrac32ln(x+1)r)1
Para x>=1 temos tfracxx+1<=1 e tfrac32ln(x+1)>=tfrac32ln2>1, logo
tfracxx+1-tfrac32ln(x+1)<0 Longrightarrow f'(x)<0
Isso mostra que f é decrescente em [1,infty), logo bk+1<bk para todo k>=1.

Passo 4

Como bk>0, (bk) é decrescente e limktoinftybk=0, pelo Teste de Leibniz a série
sumk=1^infty(-1)^k+1bk
converge.

Passo 5

Para verificar convergência absoluta, note que
sumk=1^inftybk =sumk=1^inftyln(k+1)k^3/2
pode ser comparada ao integral
integral1^inftyln(x+1)x^3/2,dx,
que converge (por integração por partes). Logo sum bk converge, isto é, a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série converge absolutamente (e, em particular, converge pelo teste de Leibniz).

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