determine se a série dada converge ou diverge. Use o teste de Leibniz para séries alternadas para estabelecer a convergência sempre que este se aplicar.
Passo 1
O enunciado nos dá a série alternada
onde definimos
O conteúdo aqui é o teste de Leibniz para séries alternadas: precisamos verificar que
, que
é decrescente e que
.
Passo 2
Mostramos primeiro que
pois o numerador cresce como
e o denominador como
, que domina.
Passo 3
Para ver que
é decrescente, considere a função
Calculando a derivada:
Para
temos
e
, logo
Isso mostra que
é decrescente em
, logo
para todo
.
Passo 4
Como
,
é decrescente e
, pelo Teste de Leibniz a série
converge.
Passo 5
Para verificar convergência absoluta, note que
pode ser comparada ao integral
que converge (por integração por partes). Logo
converge, isto é, a série original é absolutamente convergente.
Resposta
A série converge absolutamente (e, em particular, converge pelo teste de Leibniz).