9.6 Para o conjunto de equações
2 x2+5 x3=9
2 x1+x2+x3=9
3 x1+x2=10
(a) Calcule o determinante.
(b) Use a regra de Cramer para determinar os x 's.
(c) Substitua seus resultados nas equações originais para verificá-los.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três equações lineares em três incógnitas
O conteúdo é resolução de sistemas e, por fim, verificar as soluções.

Passo 2

A matriz de coeficientes é
A= 0 & 2 & 5 2 & 1 & 1 3 & 1 & 0 ,
pois a primeira equação não tem x1. O determinante de A é
det(A) =0cdotdet!1&11&0 -2cdotdet!2&13&0 +5cdotdet!2&13&1
Calculando cada menor:
det!1&11&0=1cdot0-1cdot1=-1, det!2&13&0=2cdot0-1cdot3=-3,
det!2&13&1=2cdot1-1cdot3=-1
Logo
det(A)=0cdot(-1)-2cdot(-3)+5cdot(-1)=0+6-5=1

Passo 3

Pela regra de Cramer, cada solução xi é dada por det(Ai)/det(A), onde Ai substitui a coluna i de A pelo vetor dos termos constantes (9,9,10).
1. Para x1 usamos
A1= 9 & 2 & 5 9 & 1 & 1 10& 1 & 0 ,
det(A1) =9cdotdet!1&11&0 -2cdotdet!9&110&0 +5cdotdet!9&110&1 =9cdot(-1)-2cdot(-10)+5cdot(-1)=6,
logo x1=61=6.
2. Para x2 usamos
A2= 0 & 9 & 5 2 & 9 & 1 3 &10 & 0 ,
det(A2) =0cdotdet!9&110&0 -9cdotdet!2&13&0 +5cdotdet!2&93&10 =-9cdot(-3)+5cdot(-7)=-8,
logo x2=-81=-8.
3. Para x3 usamos
A3= 0 & 2 & 9 2 & 1 & 9 3 & 1 &10 ,
det(A3) =0cdotdet!1&91&10 -2cdotdet!2&93&10 +9cdotdet!2&13&1 =-2cdot(-7)+9cdot(-1)=5,
logo x3=51=5.

Passo 4

Verificamos substituindo (x1,x2,x3)=(6,-8,5) nas equações originais:
2x2+5x3=2cdot(-8)+5cdot5=-16+25=9,
2x1+x2+x3=2cdot6+(-8)+5=12-8+5=9,
3x1+x2=3cdot6+(-8)=18-8=10
Todas conferem com os termos constantes, logo a solução está correta.

Resposta

det(A)=1,
x1=6,;x2=-8,;x3=5

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