9.9 Use eliminação de Gauss para resolver:
& 8 x1+2 x2-2 x3=-2 & 10 x1+2 x2+4 x3=4 & 12 x1+2 x2+2 x3=6
Utilize pivotamento parcial e verifique suas respostas, substi-tuindo-as nas equações originais.

Passo 1

Resumindo, temos o sistema linear
O conteúdo é eliminação de Gauss com pivotamento parcial. Vamos montar a matriz aumentada e aplicar trocas e eliminações até obter uma matriz triangular, depois fazer retro-substituição e verificar a solução.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada inicial e procuramos o maior pivô na primeira coluna (em valor absoluto): é 12 da terceira linha, então trocamos linha 1 com linha 3:
[ccc|c 12 & 2 & 2 & 6 10 & 2 & 4 & 4 8 & 2 & -2 & -2 ]
Agora usamos o pivô 12 para zerar abaixo.

Passo 3

Calculamos os multiplicadores
m21=1012=56,
m31=812=23,
e atualizamos:
linha 2 linha 2 - m21 cdotlinha 1,
linha 3 linha 3 - m31 cdotlinha 1.
A matriz vira
[ccc|c 12 & 2 & 2 & 6 0 & tfrac13 & tfrac73 & -1 0 & tfrac23 & -tfrac103 & -6 ]

Passo 4

Na segunda coluna, o maior em valor absoluto entre as linhas 2 e 3 é tfrac23 (linha 3), então trocamos linha 2 com linha 3 e usamos o novo pivô para zerar abaixo:
m32=tfrac13tfrac23=tfrac12,
linha 3 linha 3 - m32 cdotlinha 2.
Ficamos com
[ccc|c 12 & 2 & 2 & 6 0 & tfrac23 & -tfrac103 & -6 0 & 0 & 4 & 2 ]

Passo 5

Agora resolvemos por retro-substituição:
Da terceira equação,
4x3=2 Longrightarrow x3=tfrac12
Da segunda equação,
tfrac23x2-tfrac103x3=-6 Longrightarrow 2x2-10cdottfrac12=-18 Longrightarrow x2=-tfrac132
Da primeira equação,
12x1+2x2+2x3=6 Longrightarrow 12x1+2l(-tfrac132r)+2l(tfrac12r)=6 Longrightarrow x1=tfrac32
Verificando em todas as equações originais, os valores satisfazem o sistema.

Resposta

x1=tfrac32, x2=-tfrac132, x3=tfrac12

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