Encontre os autovalores e os autovetores associados das seguintes matrizes 3 \times 3. Existe um conjunto de autovetores linearmente independente? A=\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & -1 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os autovalores e, para cada um, um gerador do espaço próprio (autovetor) da matriz
Como A é triangular, sabemos que seus autovalores são as entradas da diagonal principal. Depois, para cada autovalor \lambda, vamos resolver (A - \lambda I)x = 0 para achar os autovetores. Por fim, verificamos se há três autovetores linearmente independentes.
Das raízes de (2-\lambda)^2(3-\lambda)=0 obtemos os autovalores \lambda_1 = 2 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda_2 = 3 (multiplicidade algébrica 1).
Da segunda linha vem -x_2 + x_3=0\implies x_2 = x_3. Da primeira vem -x_1 + x_2 - x_3=0\implies x_1 = x_2 - x_3 = 0. Então x_2 é livre. Tomando x_2=1, um gerador é
v_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Passo 5
O autovalor \lambda=2 tem espaço próprio unidimensional (só v_1) e \lambda=3 também unidimensional (só v_2). Assim, no total só obtemos dois autovetores independentes, e não três, logo não há base de autovetores.
Resposta
Autovalores: \lambda_1=2 (multiplicidade 2), \lambda_2=3.
Autovetores (geradores):
para \lambda_1=2, v_1=(1,0,0)^T;
para \lambda_2=3, v_2=(0,1,1)^T.
Como só há dois autovetores linearmente independentes, não existe conjunto de três autovetores independentes.