Encontre os autovalores e os autovetores associados das seguintes matrizes 3 \times 3. Existe um conjunto de autovetores linearmente independente?
A=\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & -1 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e, para cada um, um gerador do espaço próprio (autovetor) da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\\\ 0 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
Como A é triangular, sabemos que seus autovalores são as entradas da diagonal principal. Depois, para cada autovalor \lambda, vamos resolver (A - \lambda I)x = 0 para achar os autovetores. Por fim, verificamos se há três autovetores linearmente independentes.

Passo 2

O polinômio característico é dado por
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & -1\\\\ 0 & 2-\lambda & 1\\\\ 0 & 0 & 3-\lambda \end{pmatrix} =(2-\lambda)^2\,(3-\lambda).

Passo 3

Das raízes de (2-\lambda)^2(3-\lambda)=0 obtemos os autovalores \lambda_1 = 2 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda_2 = 3 (multiplicidade algébrica 1).

Passo 4

Para \lambda=2, resolvemos
(A-2I)x = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Dessas equações vêm x_3=0 e, da primeira linha, x_2 - x_3 = 0\implies x_2=0. Logo x_1 é livre. Um autovetor gerador é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Para \lambda=3, resolvemos
(A-3I)x = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} x = 0.
Da segunda linha vem -x_2 + x_3=0\implies x_2 = x_3. Da primeira vem -x_1 + x_2 - x_3=0\implies x_1 = x_2 - x_3 = 0. Então x_2 é livre. Tomando x_2=1, um gerador é
v_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

O autovalor \lambda=2 tem espaço próprio unidimensional (só v_1) e \lambda=3 também unidimensional (só v_2). Assim, no total só obtemos dois autovetores independentes, e não três, logo não há base de autovetores.

Resposta

Autovalores: \lambda_1=2 (multiplicidade 2), \lambda_2=3.
Autovetores (geradores):
para \lambda_1=2, v_1=(1,0,0)^T;
para \lambda_2=3, v_2=(0,1,1)^T.
Como só há dois autovetores linearmente independentes, não existe conjunto de três autovetores independentes.

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