Encontre os autovalores e os autovetores associados das seguintes matrizes 3 \times 3. Existe um conjunto de autovetores linearmente independente?
A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ -1 & -1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores de
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}
Para isso vamos:
  1. Calcular o polinômio característico \det(A - \lambda I).
  2. Encontrar as raízes (autovalores).
  3. Para cada autovalor resolver (A - \lambda I)x = 0 e obter os autovetores.

Passo 2

Vamos ao polinômio característico.
\det(A - \lambda I) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0\\\\ -1 & -\lambda & 1\\\\ -1 & -1 & 2-\lambda \end{pmatrix}
Como a primeira linha tem dois zeros, expandimos pela primeira linha:
\det(A - \lambda I) =(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\\ -1 & 2-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)\bigl(-\lambda(2-\lambda) - (1)(-1)\bigr).
Simplificando:
-\lambda(2-\lambda)+1 = -2\lambda + \lambda^2 +1 = \lambda^2 -2\lambda +1 = (\lambda-1)^2.
Logo,
\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)\,(\lambda-1)^2 = -(\lambda-1)^3,
e o único autovalor é \lambda = 1 com multiplicidade algébrica 3.

Passo 3

Agora resolvemos (A - I)x = 0\). \[A - I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ -1 & -1 & 1\\\\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix},
logo o sistema é
\begin{cases} 0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 0,\\\\ -\,x - y + z = 0,\\\\ -\,x - y + z = 0. \end{cases}
A única equação não trivial é (-x - y + z = 0], ou seja
z = x + y.

Passo 4

Da relação z = x + y vemos que x e y são livres. Podemos escolher como base do espaço próprio:
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Assim o espaço próprio de \lambda=1 é
\bigl\{(x,y,x+y)\mid x,y\in\mathbb{R}\bigr\} =\operatorname{span}\{v_1,v_2\},
que tem dimensão geométrica 2.

Passo 5

O autovalor \lambda=1 tem multiplicidade algébrica 3 e multiplicidade geométrica 2. Logo só existem 2 autovetores linearmente independentes, não dá para obter um conjunto de 3 autovetores independentes.

Resposta

O único autovalor é
\lambda = 1\quad(\text{multiplicidade }3).
O espaço próprio é
E_1 = \{(x,y,x+y)\} = \operatorname{span}\bigl\{(1,0,1)^T,\,(0,1,1)^T\bigr\},
de dimensão 2.
Portanto não existe um conjunto de 3 autovetores linearmente independentes.

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