Encontre os autovalores e os autovetores associados das seguintes matrizes 3 \times 3. Existe um conjunto de autovetores linearmente independente?
A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & -1 \\\\ -1 & 2 & -1 \\\\ -1 & -1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1\\\\ -1 & 2 & -1\\\\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo é teoria de autovalores/autovetores e diagonalização de matrizes simétricas.

Passo 2

Observe que se definirmos
J = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},
então
A = 2I - \bigl(J - I\bigr) = 3I - J.
Sabemos que J tem autovalores 3 (multiplicidade 1) e 0 (multiplicidade 2). Logo os autovalores de A=3I-J são
\lambda = 3 - (\text{autovalores de }J),
isto é
\lambda_1 = 3 - 3 = 0\quad(\text{mult. }1),
\lambda_2 = 3 - 0 = 3\quad(\text{mult. }2).

Passo 3

Para \lambda_1=0 resolvemos
Av = 0 \quad\Longrightarrow\quad (3I - J)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad Jv = 3v.
A única direção que satisfaz Jv=3v é v proporcional a (1,1,1).
Portanto um autovetor para \lambda=0 é
v^{(1)} = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Para \lambda_2=3 resolvemos
(A - 3I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad (3I - J - 3I)v = -Jv = 0 \quad\Longrightarrow\quad Jv = 0,
ou seja v deve satisfazer x+y+z=0. O espaço próprio tem dimensão 2. Dois vetores independentes são, por exemplo,
v^{(2)} = \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix},\quad v^{(3)} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 5

Os três vetores v^{(1)},v^{(2)},v^{(3)} são linearmente independentes. Como a multiplicidade algébrica de cada autovalor coincide com a geométrica, existe um conjunto de três autovetores linearmente independentes.

Resposta

Os autovalores são
\lambda_1 = 0,\quad \lambda_2 = \lambda_3 = 3.
Um conjunto de autovetores é
\lambda=0:\;v^{(1)}=(1,1,1)^T;
\lambda=3:\;v^{(2)}=(1,-1,0)^T,\;v^{(3)}=(1,0,-1)^T.
Sim, há três autovetores linearmente independentes.

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