Encontre os autovalores e os autovetores associados das seguintes matrizes 3 \times 3. Existe um conjunto de autovetores linearmente independente?
A=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & 2 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 2\end{pmatrix}.
O conteúdo envolve definir o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0 para obter os autovalores \lambda, e em seguida resolver (A-\lambda I)v=0 para achar cada autovetor. Também vamos verificar se existe um conjunto de autovetores linearmente independentes que forme base de \mathbb{R}^3.]

Passo 2

Calcular o polinômio característico \det(A - \lambda I). Observamos que
A - \lambda I = \begin{pmatrix}2-\lambda & 1 & 1 \\[4pt] 1 & 2-\lambda & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 2-\lambda\end{pmatrix}.
Para matrizes com diagonal a e fora-diagonal b, vale a fórmula
\det(A - \lambda I) = [(2-\lambda)-1]^{2}\,\bigl[(2-\lambda)+2\cdot 1\bigr] = (1-\lambda)^{2}\,(4-\lambda).
Logo, os autovalores são as raízes de (4-\lambda)(1-\lambda)^{2}=0, ou seja,
\lambda_{1}=4 \quad\text{e}\quad \lambda_{2}=\lambda_{3}=1.]

Passo 3

Determinar o autovetor associado a \lambda_{1}=4. Resolvemos
(A-4I)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}-2 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & -2 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0.
As equações impõem x=y=z. Um autovetor conveniente é
v_{1} = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Determinar os autovetores associados a \lambda=1. Resolvemos
(A-I)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0,
o que dá a única condição x+y+z=0. Esse espaço de soluções é bidimensional. Dois vetores linearmente independentes que satisfaçam x+y+z=0 são, por exemplo,
v_{2} = \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_{3} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Conclusão sobre diagonalização. Como os autovalores \lambda_{1}=4 e \lambda_{2}=\lambda_{3}=1 fornecem três autovetores v_{1},v_{2},v_{3} linearmente independentes, existe um conjunto de autovetores que forma base de \mathbb{R}^3. Portanto, A é diagonalizável.

Resposta

Os autovalores de A são
\lambda_{1}=4, \quad \lambda_{2}=\lambda_{3}=1.
Autovetores associados:
\lambda_{1}=4: \quad v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix};
\lambda=1: \quad \text{espaço próprio gerado por } v_{2}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix} \text{ e } v_{3}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.çó
Existe um conjunto de três autovetores linearmente independentes, logo A é diagonalizável.

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