Encontre os autovalores e os autovetores associados das seguintes matrizes 3 \times 3. Existe um conjunto de autovetores linearmente independente? A=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
O conteúdo envolve definir o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0 para obter os autovalores \lambda, e em seguida resolver (A-\lambda I)v=0 para achar cada autovetor. Também vamos verificar se existe um conjunto de autovetores linearmente independentes que forme base de \mathbb{R}^3.]
Passo 2
Calcular o polinômio característico \det(A - \lambda I). Observamos que
o que dá a única condição x+y+z=0. Esse espaço de soluções é bidimensional. Dois vetores linearmente independentes que satisfaçam x+y+z=0 são, por exemplo,
Conclusão sobre diagonalização. Como os autovalores \lambda_{1}=4 e \lambda_{2}=\lambda_{3}=1 fornecem três autovetores v_{1},v_{2},v_{3} linearmente independentes, existe um conjunto de autovetores que forma base de \mathbb{R}^3. Portanto, A é diagonalizável.