Encontre o centro a, o raio R e o intervalo I de convergência das séries de potência dadas.
sumk=0^infty 2^k(x+4)^k)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o centro a, o raio de convergência R e o intervalo de convergência I da série de potência
sumk=0^infty2^k(x+4)^k
O conteúdo envolvido é “séries de potências” e vamos usar o teste da razão para determinar R e depois resolver a desigualdade |x-a|<R, testando também os extremos.

Passo 2

Reconhecemos a forma geral
sumk=0^inftyck(x - a)^k
com ck=2^k e x - a = x + 4. Logo
a = -4

Passo 3

Aplicamos o teste da razão a ak=2^k(x+4)^k:
limktoinfty|ak+1ak| = limktoinfty|2^k+1(x+4)^k+12^k(x+4)^k| = |2(x+4)|
Para convergência precisamos de
|2(x+4)|<1 Longrightarrow |x+4|<tfrac12
Dessa desigualdade extraímos o raio de convergência
R = tfrac12

Passo 4

Resolver
|x+4|<tfrac12
em forma de intervalo:
-tfrac12 < x + 4 < tfrac12 Longrightarrow -4-tfrac12 < x < -4+tfrac12 Longrightarrow -tfrac92 < x < -tfrac72

Passo 5

Testar os extremos:
  • Em x=-tfrac92, tem-se (x+4)=-tfrac12 e a série vira sum(-1)^k, que não converge (os termos não tendem a zero).
  • Em x=-tfrac72, tem-se (x+4)=tfrac12 e a série vira sum1, que também diverge.
    Portanto, os extremos não pertencem ao intervalo de convergência.

Resposta

a = -4
R = tfrac12
I = l(-tfrac92,;-tfrac72r)

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