Use o teste da integral para determinar se cada série converge.

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar a convergência da série
sumk=2^infty1k(ln k)^6
usando o teste da integral. O conteúdo aqui é o teste da integral para séries de termos positivos e decrescentes. Para isso, vamos definir a função de referência
f(x)=1x(ln x)^6
e avaliar a integral imprópria
integral2^inftyf(x),dx

Passo 2

Precisamos confirmar que f(x)=1x(ln x)^6 satisfaz as hipóteses do teste da integral em [2,infty):
  1. f(x)>0 para todo x>=2,
  2. f(x) é contínua para x>2,
  3. f(x) é decrescente para x>=2.
    Como ln x cresce e x(ln x)^6 cresce, o denominador aumenta, logo f(x) decresce. Assim, podemos aplicar o teste da integral.

Passo 3

Vamos calcular a integral
integral2^infty1x(ln x)^6,dx
Use a substituição
u = ln x, du = dxx
Quando x=2, u=ln2; quando xtoinfty, utoinfty. A integral vira
integralln2^inftyu^-6,du
Integramos:
integral u^-6,du = u^-5-5,
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integralln2^inftyu^-6,du =[u^-5-5]ln2^infty =;0 ;-;l(-15(ln2)^5r) =15(ln2)^5<infty
A integral converge (valor finito).

Passo 4

Pelo teste da integral, como
integral2^infty1x(ln x)^6,dx
converge, a série
sumk=2^infty1k(ln k)^6
também converge.

Resposta

A série sumk=2^infty1k(ln k)^6 converge pelo teste da integral.

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