Use o teste da integral para determinar se cada série converge.
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar a convergência da série
usando o teste da integral. O conteúdo aqui é o teste da integral para séries de termos positivos e decrescentes. Para isso, vamos definir a função de referência
e avaliar a integral imprópria
Passo 2
Precisamos confirmar que
satisfaz as hipóteses do teste da integral em
:
-
para todo , -
é contínua para , -
é decrescente para .
Comocresce e cresce, o denominador aumenta, logo decresce. Assim, podemos aplicar o teste da integral.
Passo 3
Vamos calcular a integral
Use a substituição
Quando
,
; quando
,
. A integral vira
Integramos:
logo
A integral converge (valor finito).
Passo 4
Pelo teste da integral, como
converge, a série
também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da integral.