encontre a série infinita com a seqüência de somas parciais dada, determine se a série converge ou diverge e, se convergir, encontre sua soma.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência de somas parciais
sn = |nn+1| = nn+1,
e pede (a) a série infinita cuja sequência de somas parciais é (sn), (b) verificar se essa série converge ou diverge e (c) em caso de convergência, achar sua soma. Vamos usar a relação entre termos da série e somas parciais:
ak = sk - sk-1, s0 = 0
Passo 2
Calculamos o primeiro termo a1 e depois a fórmula geral para ak.
Para k=1 temos
a1 = s1 - s0 = 11+1 - 0 = 12
Para k>=2,
ak = sk - sk-1 = kk+1 - k-1k = k^2 -l(k^2-1r)k(k+1) = 1k(k+1)
Passo 3
Concluímos que para todo k>=1
ak = 1k(k+1)
Logo a série procurada é
sumk=1^infty ak = sumk=1^infty 1k(k+1)
Observamos que
1k(k+1) = 1k - 1k+1,
portanto é uma série telescópica.
Passo 4
O n-ésimo somatório parcial da série telescópica é
sumk=1^nl(1k-1k+1r) = 1 - 1n+1 = nn+1 = sn
Como limntoinftysn = 1, a série converge e sua soma é 1.
Resposta
A série é
sumk=1^infty1k(k+1),
ela converge (é telescópica) e
sumk=1^infty1k(k+1) = 1
Cálculo Numérico - Análise numérica - burden - 10ª Edição - Capítulo 13.Conjunto de Problemas 2 - Ex. 7