encontre a série infinita com a seqüência de somas parciais dada, determine se a série converge ou diverge e, se convergir, encontre sua soma.
sn=2-12^n-1

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência de somas parciais
sn = l2 - 2^-(n-1)r
de uma série sumk=1^inftyak. Precisamos achar o termo geral an, verificar se a série converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma.

Passo 2

Lembrando que o termo an de uma série é dado por
an = sn - sn-1,
com a convenção s0=0.
Para n=1 temos
a1 = s1 - s0 = s1 = 2 - 2^-(1-1) = 2 - 1 = 1
Para n>=2 calculamos
an = l(2 - 2^-(n-1)r) - l(2 - 2^-(n-2)r) = -2^-(n-1) + 2^-(n-2) =2^-(n-2)l(1 - tfrac12r) =2^-(n-1)
Logo, para todo n>=1 vale
an = 2^-(n-1)

Passo 3

Portanto a série é
sumn=1^inftyan =sumn=1^infty2^-(n-1) =sumk=0^inftyl(tfrac12r)^k,
que é uma série geométrica de primeiro termo 1 e razão r=tfrac12.

Passo 4

Como lvert rrvert = tfrac12<1, a série converge. A soma de uma geométrica infinita é
primeiro termo1-r =11 - tfrac12 =2

Resposta

A série é sumn=1^infty2^-(n-1), ela converge e sua soma é 2.

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