Encontre a soma de cada série forçando os termos através de somas parciais a formar uma série de encaixe.
sumk=1^infty raizk+1-raizkraizk^2+k)

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
sumk=1^inftyraizk+1-raizkraizk^2+k,
que é uma série telescópica. Vamos usar a identidade raizk^2+k=raizk(k+1) para reescrever o termo geral de forma a evidenciar o telescópio.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral, temos
raizk+1-raizkraizk^2+k =raizk+1-raizkraizk(k+1) =raizk+1raizk(k+1)-raizkraizk(k+1) =1raizk-1raizk+1

Passo 3

Definindo a soma parcial até n,
Sn=sumk=1^nl(1raizk-1raizk+1r),
observe que é telescópica, pois muitos termos se cancelam. Ao expandir, sobram apenas
Sn =l(1raiz1-1raiz2r) +l(1raiz2-1raiz3r) +cdots +l(1raizn-1raizn+1r) =1-1raizn+1

Passo 4

Para encontrar a soma da série, tomamos o limite de Sn quando ntoinfty:
limntoinftySn =limntoinftyl(1-1raizn+1r) =1-0=1

Resposta

A soma da série é 1.

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