Determine se cada seqüência converge ou diverge, se a seqüência convergir, encontre seu limite.
1(n+1)+(-1)^n(1-n)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
an = 1(n+1)+(-1)^n(1-n)
e determinar se ela converge ou diverge; caso converja, encontrar o limite.

Passo 2

Vamos separar em dois casos, olhando para n par. Se n é par, então (-1)^n = 1 e o denominador fica
(n+1) + 1cdot(1-n) = n+1 +1 - n = 2
Logo, a subsequência com n par é
a2k = 12para todo kinN

Passo 3

Se n é ímpar, então (-1)^n = -1 e o denominador fica
(n+1) -1cdot(1-n) = n+1 -1 + n = 2n
Logo, a subsequência com n ímpar é
a2k+1 = 12n = 12(2k+1)

Passo 4

Agora achamos os limites das duas subsequências:
  • Para n par, a2k = tfrac12 é constante, logo
limktoinftya2k = 12
  • Para n ímpar,
limktoinftya2k+1 = limktoinfty12(2k+1) = 0

Passo 5

Como as duas subsequências têm limites diferentes ( tfrac12 e 0), a sequência an não tem limite único. Portanto ela diverge.

Resposta

A sequência diverge (os termos com n par tendem a tfrac12 e os com n ímpar tendem a 0).

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