17 A seqüência
é monótona? Por quê?
Passo 1
O enunciado define a sequência
para
, e pergunta se ela é monotônica.
Conteúdo: definição de sequência monotônica (estritamente crescente ou decrescente) e teste da diferença .
Conteúdo: definição de sequência monotônica (estritamente crescente ou decrescente) e teste da diferença
Passo 2
Vamos calcular a diferença
para verificar o sinal.
Logo
Simplificando internamente:
então
Passo 3
Analisamos o sinal de
Note que, para
,
porque o crescimento exponencial em
domina o polinômio
. Logo para
temos
.
Passo 4
Precisamos checar os primeiros
:
- Para
: - Para
: - Para
:
Portanto
para
e
para todo
.
Passo 5
Conclusão sobre monotonicidade:
- A sequência cresce de
até . - A partir de
ela passa a decrescer estritamente.
Resposta
A sequência não é monotônica em todo o seu domínio: ela cresce para
e, a partir de
, é estritamente decrescente.