17 A seqüência n-2^nn é monótona? Por quê?

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = n - 2^nn,
para ninN, e pergunta se ela é monotônica.
Conteúdo: definição de sequência monotônica (estritamente crescente ou decrescente) e teste da diferença an+1-an.

Passo 2

Vamos calcular a diferença
De<a an = an+1 - an
para verificar o sinal.
an+1 = (n+1) - 2^n+1n+1,
an = n - 2^nn
Logo
De<a an = (n+1)-n ;-;2^n+1n+1 + 2^nn = 1 ;-;2^nl(2n+1-1nr)
Simplificando internamente:
2n+1-1n = 2n - (n+1)n(n+1) = n-1n(n+1),
então
De<a an = 1 ;-;2^nn-1n(n+1)

Passo 3

Analisamos o sinal de
1 ;-;2^nn-1n(n+1)
Note que, para n>=3,
2^nn-1n(n+1) ;=;2^n(n-1)n(n+1)>1
porque o crescimento exponencial em 2^n domina o polinômio n^2. Logo para n>=3 temos De<a an<0.

Passo 4

Precisamos checar os primeiros n:
  • Para n=1: a1 = 1 - 21 = -1, a2 = 2 - 42 = 0, De<a a1 = a2-a1 = 1>0
  • Para n=2: a3 = 3 - 83 approx 0,33, De<a a2 = a3-a2 approx 0,33>0
  • Para n=3: a4 = 4 - 164 =0, De<a a3 = a4-a3 approx -0,33<0
Portanto De<a an>0 para n=1,2 e De<a an<0 para todo n>=3.

Passo 5

Conclusão sobre monotonicidade:
  • A sequência cresce de n=1 até n=3.
  • A partir de n=3 ela passa a decrescer estritamente.

Resposta

A sequência não é monotônica em todo o seu domínio: ela cresce para n=1,2 e, a partir de n=3, é estritamente decrescente.

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