encontre o termo inicial a e a razão r de cada série geométrica, determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
sumk=1^infty e^1-k

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
sumk=1^infty e^1-k
que é uma série geométrica. Vamos identificar o termo inicial a e a razão r, verificar a convergência e, se convergir, calcular a soma pela fórmula da soma de uma progressão geométrica.

Passo 2

Note que o termo geral pode ser escrito como
ak = e^1-k
O primeiro termo é
a1 = e^1-1 = e^0 = 1
Para encontrar a razão, calculamos
r = ak+1ak = e^1-(k+1)e^1-k = e^-1

Passo 3

Uma série geométrica sumk=1^infty a,r^,k-1 converge se, e somente se, lvert rrvert<1. Aqui temos
lvert rrvert = l|e^-1r| = 1e < 1,
logo a série converge.

Passo 4

Quando lvert rrvert<1, a soma da série é
S = a1-r
Substituindo a=1 e r=e^-1, vem
S = 11 - e^-1 = 1e-1e = ee-1

Resposta

O termo inicial é a=1, a razão é r=e^-1, a série converge e sua soma é
ee-1

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