encontre o termo inicial a e a razão r de cada série geométrica, determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
sumk=1^infty 3^k-14^k+1

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumk=1^infty 3^k-14^k+1
e pede para identificarmos o termo inicial a e a razão r de uma progressão geométrica, verificar convergência e, se convergir, calcular a soma.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral:
3^k-14^k+1 = 14^2,3^k-14^k-1 = 116l(34r)^k-1
Assim, é uma progressão geométrica de termo inicial
a = 116
e razão
r = 34

Passo 3

Para uma série geométrica sumk=1^infty a,r^k-1 convergir é preciso lvert rrvert<1. Aqui lvert rrvert = tfrac34<1, logo a série converge.

Passo 4

A soma de uma série geométrica convergente é
S = a1 - r
Substituindo a=tfrac116 e r=tfrac34 temos
S = tfrac1161 - tfrac34 = tfrac116tfrac14 = 116cdot 4 = 14

Resposta

a) a = tfrac116
b) r = tfrac34
c) A série converge, pois lvert rrvert<1.
d) Soma S = tfrac14.

Exercícios de Livros Relacionados