24.52 A Equação de Rosin-Rammler-Bennet (RRB) é usada para descrever a distribuição de tamanho na poeira fina.
representa a massa acumulada das partículas de diâmetro inferior ou igual a
.
e
são constantes iguais a
e 1,44 , respectivamente. A distribuição de densidade de massa
ou a massa das partículas
Raio,
0,0
2,5
5,0
7,5
10,0
12,5
15,0
17,5
20,0
Velocidade,
0,914
0,890
0,847
0,795
0,719
0,543
0,427
0,204
0
de poeira de diâmetro
é encontrada tomando-se a derivada da distribuição acumulada
(a) Calcule numericamente a distribuição de densidade de massa
e trace tanto
quanto a distribuição acumulada
.
(b) Usando seus resultados da parte (a), calcule o tamanho modal da distribuição de densidade de massa - isto é, o tamanho no qual a derivada de
é igual a zero.
(c) Encontre a área da superfície por massa de poeira
usando
A equação é válida apenas para partículas esféricas. Suponha uma densidade
e um diâmetro mínimo de poeira incluído na distribuição
de
.
Raio,
|
0,0 | 2,5 | 5,0 | 7,5 | 10,0 | 12,5 | 15,0 | 17,5 | 20,0 |
Velocidade,
|
0,914 | 0,890 | 0,847 | 0,795 | 0,719 | 0,543 | 0,427 | 0,204 | 0 |
(b) Usando seus resultados da parte (a), calcule o tamanho modal da distribuição de densidade de massa - isto é, o tamanho no qual a derivada de
(c) Encontre a área da superfície por massa de poeira
Passo 1
O enunciado apresenta a distribuição acumulada de massas de poeira fina segundo a Equação de Rosin–Rammler–Bennet:
com
e
. A densidade de massa (pdf) é
Precisamos:
(1) obter numericamente e traçar
e
;
(2) encontrar o diâmetro modal tal que
;
(3) calcular a área de superfície por massa
(1) obter numericamente
(2) encontrar o diâmetro modal
(3) calcular a área de superfície por massa
com
e
.
Passo 2
Derivamos analiticamente
Para o traçado numérico, escolhemos um vetor de diâmetros
(por ex. de
a
), calculamos
e
.
No gráfico, cresce de 0 a 1 e
é unimodal (sobe, atinge pico e decai).
e
No gráfico,
Passo 3
Para achar o modal, impomos
. Fazendo a derivada e simplificando, obtém-se
Logo
Passo 4
Para
fazemos
onde
. Passando
e
para cm (
,
) e usando
e
, calcula-se numericamente
Resposta
(a)
. Traçando
e
num grid de
obtém-se
monótona crescente e
unimodal.
(b)
(c)
(b)
(c)