24.52 A Equação de Rosin-Rammler-Bennet (RRB) é usada para descrever a distribuição de tamanho na poeira fina. representa a massa acumulada das partículas de diâmetro inferior ou igual a . e são constantes iguais a e 1,44 , respectivamente. A distribuição de densidade de massa ou a massa das partículas
Raio, 0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 17,5 20,0
Velocidade, 0,914 0,890 0,847 0,795 0,719 0,543 0,427 0,204 0
de poeira de diâmetro é encontrada tomando-se a derivada da distribuição acumulada
(a) Calcule numericamente a distribuição de densidade de massa e trace tanto quanto a distribuição acumulada .
(b) Usando seus resultados da parte (a), calcule o tamanho modal da distribuição de densidade de massa - isto é, o tamanho no qual a derivada de é igual a zero.
(c) Encontre a área da superfície por massa de poeira usando
A equação é válida apenas para partículas esféricas. Suponha uma densidade e um diâmetro mínimo de poeira incluído na distribuição de .

Passo 1

O enunciado apresenta a distribuição acumulada de massas de poeira fina segundo a Equação de Rosin–Rammler–Bennet:
F(x)=1 - e^-l(x/x'r)^n',,
com x'=30 mum e n'=1,44. A densidade de massa (pdf) é
f(x)=dFdx,
Precisamos:
(1) obter numericamente f(x) e traçar F(x) e f(x);
(2) encontrar o diâmetro modal xmod tal que f'(x)=0;
(3) calcular a área de superfície por massa
Sm=6rhointegraldmin^inftyf(x)x,dx
com rho=1 g/cm^3 e dmin=1 mum.

Passo 2

Derivamos analiticamente
f(x) =ddxl[1 - e^-(x/x')^n'r] =n'x'l(xx'r)^n'-1 exp!l[-(x/x')^n'r]
Para o traçado numérico, escolhemos um vetor de diâmetros xi (por ex. de 1 a 100 mum), calculamos
;Fi=1-exp[-(xi/x')^n']
e
;fi=(n'/x')(xi/x')^,n'-1exp[-(xi/x')^n'].
No gráfico, F(x) cresce de 0 a 1 e f(x) é unimodal (sobe, atinge pico e decai).

Passo 3

Para achar o modal, impomos f'(x)=0. Fazendo a derivada e simplificando, obtém-se
xmodx' =l(n'-1n'r)^1/n'
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xmod =x'l(tfracn'-1n'r)^1/n' =30 mumtimesl(tfrac0,441,44r)^1/1,44 approx13,2 mum

Passo 4

Para Sm fazemos
Sm =6rhointegraldmin^inftyf(x)x,dx =6rho,1x', Gamma!l(1-tfrac1n',,(dmin/x')^n'r),
onde Gamma(s,z)=integralz^inftyt^s-1e^-tdt. Passando x' e dmin para cm ( 30 mum=3times10^-3,cm, 1 mum=10^-4,cm) e usando s=1-1/n'approx0,3056 e (dmin/x')^n'approx0,00745, calcula-se numericamente
Smapprox4,4times10^3 cm^2/g

Resposta

(a) f(x)=dfracn'x'l(tfracxx'r)^n'-1e^-(x/x')^n'. Traçando F(x) e f(x) num grid de xin[1,100] mum obtém-se F monótona crescente e f unimodal.
(b) xmodapprox13,2 mum
(c) Smapprox4,4times10^3 cm^2/g

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