24.54 O gradiente de pressão para o escoamento laminar através de um tubo de raio constante é dado por
em que é a pressão ( ), é a distância ao longo do eixo central do tubo ( m ), é a viscosidade dinâmica ( ), é o escoamento ( ) e é o raio ( m ).
(a) Determine a queda de pressão para um tubo de 10 cm de comprimento para um líquido viscoso ( , densidade ) com um escoamento de e os seguintes raios variáveis ao longo de seu comprimento:
0 2 4 5 6 7 10
2 1,35 1,34 1,6 1,58 1,42 2
(b) Compare seu resultado com a queda de pressão que teria ocorrido se o tubo tivesse um raio constante igual ao raio médio.
(c) Determine o número de Reynolds médio para o tubo para verificar que o escoamento é realmente laminar 2.100, em que é a velocidade).

Passo 1

O enunciado trata do escoamento viscoso laminar em um tubo de comprimento L=0,10 m, com vazão volumétrica Q=10times10^-6 m^3/s, e viscosidade dinâmica mu=0,005 Ncdot s/ m^2. A pressão varia segundo
dpdx=-8,mu,Qpi,r^4(x)
Precisamos:
1. Calcular a queda de pressão real De<a p integrando ao longo do tubo com o raio variável dado por pontos discretos.
2. Comparar com a queda de pressão para um tubo de raio constante igual ao raio médio.
3. Calcular o número de Reynolds médio
Re=rho,v,Dmu<2100
para verificar a condição de escoamento laminar, em que v é a velocidade média e D=2r.

Passo 2

Para obter a queda de pressão total, integramos
dp=-8,mu,Qpi,dxr^4(x),
de x=0 a x=L. Logo, em módulo,
De<a p =integral0^Lgl|dpdxgr|,dx =8,mu,Qpiintegral0^Ldxr^4(x)
Como o raio varia em pontos discretos, aproximamos integral0^L!dxr^4 pela regra trapezoidal. Convertemos x em metros e r em metros:
c|ccccccc x;(m)&0&0,02&0,04&0,05&0,06&0,07&0,10hline r;(m)&0,002&0,00135&0,00134&0,00160&0,00158&0,00142&0,002
e calculamos fi=1/ri^4. Em seguida,
integral0^Ldxr^4approxsumi=0^5xi+1-xi2l(fi+fi+1r)

Passo 3

Calculando fi=1/ri^4 e aplicando a regra trapezoidal, obtém-se
integral0^0,10dxr^4approx2,028times10^10,
Logo,
De<a p =8cdot0,005cdot1,0times10^-5pitimes2,028times10^10 approx2,58times10^3,Pa

Passo 4

Para um tubo de raio constante igual ao raio médio calculado nos sete pontos,
rmédio =2+1,35+1,34+1,60+1,58+1,42+27,mm approx1,613,mm=0,001613,m é
A queda de pressão seria
De<a pconst =8,mu,Q,Lpi,rmédio^4 =8cdot0,005cdot1,0times10^-5cdot0,10 pi,(0,001613)^4 approx1,88times10^3,Pa é

Passo 5

A velocidade média para o raio médio é
v=Qpi,rmédio^2 =1,0times10^-5pi,(0,001613)^2 approx1,22,m/s é
O diâmetro é D=2,rmédio=0,003226é m, logo
Re =rho,v,Dmu =1000cdot1,22cdot0,0032260,005 approx7,90times10^2<2100,
confirmando escoamento laminar.

Resposta

(a) De<a papprox2,58times10^3,Pa
(b) Para r= raio médio, De<a papprox1,88times10^3,Pa
(c) Reapprox7,9times10^2, isto é, laminar.

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