Estime a soma de série dada com um erro que não ultrapasse 5 times 10^-4 em valor absoluto.
sumk=1^infty(-1)^k+1 1(3 k)^3

Passo 1

O enunciado pede para estimar a série
sumk=1^infty(-1)^k+11(3k)^3
com erro absoluto não ultrapassando 5times10^-4.
Conteúdo: séries alternadas. Vamos usar o critério de Leibniz, que diz que se ak é positiva, decrescente e tende a zero, então o resto após n termos em módulo é no máximo an+1.

Passo 2

Identificamos ak=1(3k)^3. Claramente ak>0, decrescente em k e limktoinftyak=0. Pelo critério de Leibniz, o erro ao truncar na soma dos n primeiros termos vale
l|Rnr|<= an+1=13^3,(n+1)^3=127,(n+1)^3
Queremos an+1<=5times10^-4.

Passo 3

Testando n=4
a5=127cdot5^3=127cdot125=13375approx2,96times10^-4<5times10^-4,
logo basta somar os quatro primeiros termos:
S4=sumk=1^4(-1)^k+11(3k)^3 =127l(1-tfrac12^3+tfrac13^3-tfrac14^3r)

Passo 4

Calculando numericamente,
1-tfrac18+tfrac127-tfrac164 =0,896412Longrightarrow S4=0,89641227approx0,0332004
O erro lvert S-S4rvert<= a5approx2,96times10^-4<5times10^-4.

Resposta

sumk=1^infty(-1)^k+11(3k)^3approx0,03320,
com erro absoluto menor que 5times10^-4.

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