Use algum método apropriado para saber se cada série converge ou diverge. Se convergir, determine se a convergência é absoluta ou condicional.
(48 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\ln \left(e{k}+e{-k}\right)})

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
sumk=1^infty (-1)^klnl(e^k+e^-kr)
determinando se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, se é absoluta ou condicional. O conteúdo principal é o teste de Leibniz para séries alternadas e comparação para convergência absoluta.

Passo 2

Verificamos a condição necessária de convergência, isto é, se o termo geral tende a zero. Definindo
ak = (-1)^klnl(e^k+e^-kr),
observamos que, para ktoinfty,
lnl(e^k+e^-kr) = ln!l(e^k(1+e^-2k)r) = k + lnl(1+e^-2kr) sim k,
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limktoinftyak = limktoinfty(-1)^kln(e^k+e^-k) = 0

Passo 3

Mostramos que os termos em módulo
bk = 1lnl(e^k+e^-kr)
são monótonos decrescentes. Note que, para todo k>=1,
e^k+1+e^-k-1 = ecdot e^k + e^-1cdot e^-k > e^k + e^-k,
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lnl(e^k+1+e^-k-1r) > lnl(e^k+e^-kr) Longrightarrow bk+1 < bk

Passo 4

Pelo teste de séries alternadas de Leibniz, como limktoinftyak=0 e (bk) é decrescente, a série
sumk=1^inftyak
converge.

Passo 5

Para a convergência absoluta, consideramos
sumk=1^inftyl|akr| = sumk=1^infty1lnl(e^k+e^-kr)
Para k grande vale
lnl(e^k+e^-kr) < lnl(2e^kr) = k + ln2 Longrightarrow 1ln(e^k+e^-k) > 1k+ln2
Como sum1/(k+ln2) diverge (série harmônica deslocada), a série de termos absolutos diverge.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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