Encontre a soma de cada série forçando os termos através de somas parciais a formar uma série de encaixe.
sumk=1^infty k(k+1)(k+2)(k+3)

Passo 1

O enunciado pede para somar a série
sumk=1^infty k(k+1)(k+2)(k+3)
O conteúdo principal aqui é usar decomposição em frações parciais para transformar cada termo num telescópio, e depois calcular a soma das somatórias parciais.

Passo 2

Procuramos constantes A,B,C tais que
k(k+1)(k+2)(k+3) = Ak+1 + Bk+2 + Ck+3
Multiplicando ambos os lados por (k+1)(k+2)(k+3) obtemos
k = A,(k+2)(k+3) + B,(k+1)(k+3) + C,(k+1)(k+2)

Passo 3

Expandindo e comparando coeficientes de potências de k, vem o sistema
A + B + C = 0, 5A + 4B + 3C = 1, 6A + 3B + 2C = 0
Resolvendo, achamos
A=-tfrac12, B=2, C=-tfrac32

Passo 4

Logo
k(k+1)(k+2)(k+3) = -tfrac12,1k+1 + 2,1k+2 -tfrac32,1k+3
A soma parcial até N é
SN = sumk=1^Nl(-tfrac121k+1 + 21k+2 -tfrac321k+3r)

Passo 5

Escrevendo as somas separadamente e observando o cancelamento telescópico das parcelas internas, fica
SN = -tfrac12sumj=2^N+11j + 2sumj=3^N+21j - tfrac32sumj=4^N+31j
Ao agrupar os termos com mesmo j, só permanecem as “bordas”:
SN = -tfrac1212 + l(-tfrac12+2r)13 + l(2-tfrac32r)1N+2 - tfrac321N+3
Simplificando os primeiros dois coeficientes:
-tfrac12cdottfrac12 + tfrac32cdottfrac13 = -tfrac14 + tfrac12 = tfrac14,
então
SN = tfrac14 + tfrac121N+2 - tfrac321N+3

Passo 6

Fazendo Ntoinfty, as frações 1N+2 e 1N+3 vão a zero. Logo a soma da série é
sumk=1^infty k(k+1)(k+2)(k+3) = tfrac14

Resposta

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