19.20 A função de Runge é escrita como
Gere 9 valores igualmente espaçados dessa função no intervalo
. Ajuste esses dados com (a) um polinômio de
grau, (b) um spline linear e (c) um spline cúbico. Apresente seus resultados graficamente.
Passo 1
O enunciado pede para gerar
pontos igualmente espaçados no intervalo
da função de Runge
e então ajustar esses pontos por três métodos de interpolação:
(a) um polinômio de grau ,
(b) um spline linear,
(c) um spline cúbico.
O conteúdo principal envolve interpolação polinomial (e o fenômeno de Runge) e interpolação por splines.
(a) um polinômio de grau
(b) um spline linear,
(c) um spline cúbico.
O conteúdo principal envolve interpolação polinomial (e o fenômeno de Runge) e interpolação por splines.
Passo 2
Definimos os nós
e os valores
para
:
Isso gera a tabela (aproximações decimais):
Passo 3
Interpolação polinomial de grau
Use a forma de Lagrange ou Newton para construir
Use a forma de Lagrange ou Newton para construir
onde
Em software (MATLAB, Python) pode-se usar
polyfit(x,f,\(8\))
e depois polyval
. Esse polinômio costuma oscilar fortemente nos extremos (\emph{fenômeno de Runge}).Passo 4
Spline linear
Para cada subintervalo , define-se
Para cada subintervalo
Isso resulta numa curva contínua, porém sua derivada apresenta descontinuidades em cada nó.
Passo 5
Spline cúbico
Constrói-se um conjunto de funções cúbicas em cada de forma que
,
e
sejam contínuas em todos os nós. Em geral se resolve um sistema tridiagonal para obter as segundas derivadas nos nós e monta-se
Constrói-se um conjunto de funções cúbicas em cada
com
. Bibliotecas (MATLAB
spline
, Python CubicSpline
) fazem isso automaticamente.Passo 6
Plot comparativo
. Trace em um mesmo gráfico, para
denso em
:
- A função original
como linha contínua preta. - O polinômio
como linha vermelha tracejada. - O spline linear
como linha verde pontilhada. - O spline cúbico
como linha azul traço-ponto.
. Insira legendas e marque os nós como pontos.
Resposta
No gráfico comparativo observam-se:
– O ajuste por polinômio de grau (vermelho tracejado) se aproxima bem no centro, mas oscila fortemente perto de
(fenômeno de Runge).
– O spline linear (verde pontilhado) liga os pontos de forma simples, sem oscilações, mas sua curva não é suave nos nós.
– O spline cúbico (azul traço-ponto) proporciona uma curva suave, com alta fidelidade tanto no centro quanto nas extremidades, capturando bem o formato de .
– O ajuste por polinômio de grau
– O spline linear (verde pontilhado) liga os pontos de forma simples, sem oscilações, mas sua curva não é suave nos nós.
– O spline cúbico (azul traço-ponto) proporciona uma curva suave, com alta fidelidade tanto no centro quanto nas extremidades, capturando bem o formato de