19.20 A função de Runge é escrita como
f(x)=11+25 x^2
Gere 9 valores igualmente espaçados dessa função no intervalo [-1,1]. Ajuste esses dados com (a) um polinômio de 8^0 grau, (b) um spline linear e (c) um spline cúbico. Apresente seus resultados graficamente.

Passo 1

O enunciado pede para gerar 9 pontos igualmente espaçados no intervalo [-1,1] da função de Runge
f(x)=11+25,x^2
e então ajustar esses pontos por três métodos de interpolação:
(a) um polinômio de grau 8,
(b) um spline linear,
(c) um spline cúbico.
O conteúdo principal envolve interpolação polinomial (e o fenômeno de Runge) e interpolação por splines.

Passo 2

Definimos os nós e os valores para :
Isso gera a tabela (aproximações decimais):

Passo 3

Interpolação polinomial de grau
Use a forma de Lagrange ou Newton para construir
onde
Em software (MATLAB, Python) pode-se usar polyfit(x,f,\(8\)) e depois polyval. Esse polinômio costuma oscilar fortemente nos extremos (\emph{fenômeno de Runge}).

Passo 4

Spline linear
Para cada subintervalo [xi,xi+1], define-se
Slin(x) = fi + fi+1-fixi+1-xi,(x - xi)
Isso resulta numa curva contínua, porém sua derivada apresenta descontinuidades em cada nó.

Passo 5

Spline cúbico
Constrói-se um conjunto de funções cúbicas em cada [xi,xi+1] de forma que S, S' e S'' sejam contínuas em todos os nós. Em geral se resolve um sistema tridiagonal para obter as segundas derivadas nos nós e monta-se
Scub(x) = Ai(x),fi + Bi(x),fi+1 + Ci(x),Mi + Di(x),Mi+1,
com Mi=S''(xi). Bibliotecas (MATLAB spline, Python CubicSpline) fazem isso automaticamente.

Passo 6

Plot comparativo
1. Trace em um mesmo gráfico, para x denso em [-1,1]:
  • A função original f(x) como linha contínua preta.
  • O polinômio P8(x) como linha vermelha tracejada.
  • O spline linear Slin(x) como linha verde pontilhada.
  • O spline cúbico Scub(x) como linha azul traço-ponto.
    2. Insira legendas e marque os 9 nós (xi,fi) como pontos.

Resposta

No gráfico comparativo observam-se:
– O ajuste por polinômio de grau 8 (vermelho tracejado) se aproxima bem no centro, mas oscila fortemente perto de x=pm1 (fenômeno de Runge).
– O spline linear (verde pontilhado) liga os pontos de forma simples, sem oscilações, mas sua curva não é suave nos nós.
– O spline cúbico (azul traço-ponto) proporciona uma curva suave, com alta fidelidade tanto no centro quanto nas extremidades, capturando bem o formato de f(x).

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