19.8 Um retificador de meia onda pode ser caracterizado por
onde
é a amplitude da onda. Trace os primeiros quatro termos junto com a soma.
Passo 1
O enunciado nos dá a representação em série de Fourier de uma onda retificada meia-onda
e pede para traçar os primeiros quatro termos parciais junto com a soma completa. O conteúdo aqui é aproximação de uma função periódica por somas parciais de sua série de Fourier.
Passo 2
Escrevemos as somas parciais explicitamente:
Passo 3
A série completa (soma infinita) é
que, pelas parcelas escritas, gera exatamente
Passo 4
Para traçar as curvas numéricas, escolhemos pontos
em
e calculamos
(por exemplo truncando a soma em
termos para aproximar
). Em Python/Matlab basta definir
t \(=\) np.linspace(\(0,2\)*np.pi,\(1000\))
S\(1=\) np.\(ones_like\)(t)/np.pi
S\(2=\) S\(1+0.5\)*np.sin(t)
S\(3=\) S\(2\) - (\(2\)/(\(3\)*np.pi))*np.cos(\(2\)*t)
S\(4=\) S\(3\) - (\(2\)/(\(15\)*np.pi))*np.cos(\(4\)*t)
S \(=\) S\(1+0.5\)*np.sin(t) - sum(\(2\)/((\(2\)*m-\(1\))*np.pi)*np.cos(\(2\)*m*t) for m in range(\(1,50\)))
plt.plot(t,S\(1\),'--',t,S\(2\),'-.',t,S\(3\),':',t,S\(4\),'-',t,S,'k'); plt.legend(['\(S_{1}\)','\(S_{2}\)','\(S_{3}\)','\(S_{4}\)','S\(\infty\)'])
Passo 5
No gráfico resultante observa-se que
é uma reta,
já tem o contorno senoidal básico,
e
introduzem “bicos” que começam a formar o recorte da meia-onda, e a soma completa
converge à forma exata da onda retificada meia-onda.
Resposta
As somas parciais são
e a soma completa é