19.8 Um retificador de meia onda pode ser caracterizado por
C1= & [1pi+12 sen t-23 pi cos 2 t-215 pi cos 4 t & -235 pi cos 6 t-cdots]
onde C1 é a amplitude da onda. Trace os primeiros quatro termos junto com a soma.

Passo 1

O enunciado nos dá a representação em série de Fourier de uma onda retificada meia-onda
C1(t)=1pi+12sin t-23picos2t-215picos4t-235picos6t-cdots
e pede para traçar os primeiros quatro termos parciais junto com a soma completa. O conteúdo aqui é aproximação de uma função periódica por somas parciais de sua série de Fourier.

Passo 2

Escrevemos as somas parciais explicitamente:
S1(t)=1pi,
S2(t)=1pi+12sin t,
S3(t)=1pi+12sin t-23picos2t,
S4(t)=1pi+12sin t-23picos2t-215picos4t

Passo 3

A série completa (soma infinita) é
S(t)=1pi+12sin t-summ=1^infty2(2m-1),picosl(2m,tr)
que, pelas parcelas escritas, gera exatamente
S(t)=1pi+12sin t-23picos2t-215picos4t-235picos6t-cdots

Passo 4

Para traçar as curvas numéricas, escolhemos pontos em e calculamos
(por exemplo truncando a soma em termos para aproximar ). Em Python/Matlab basta definir
t \(=\) np.linspace(\(0,2\)*np.pi,\(1000\))
S\(1=\) np.\(ones_like\)(t)/np.pi
S\(2=\) S\(1+0.5\)*np.sin(t)
S\(3=\) S\(2\) - (\(2\)/(\(3\)*np.pi))*np.cos(\(2\)*t)
S\(4=\) S\(3\) - (\(2\)/(\(15\)*np.pi))*np.cos(\(4\)*t)
S  \(=\) S\(1+0.5\)*np.sin(t) - sum(\(2\)/((\(2\)*m-\(1\))*np.pi)*np.cos(\(2\)*m*t) for m in range(\(1,50\)))
plt.plot(t,S\(1\),'--',t,S\(2\),'-.',t,S\(3\),':',t,S\(4\),'-',t,S,'k'); plt.legend(['\(S_{1}\)','\(S_{2}\)','\(S_{3}\)','\(S_{4}\)','S\(\infty\)'])

Passo 5

No gráfico resultante observa-se que S1 é uma reta, S2 já tem o contorno senoidal básico, S3 e S4 introduzem “bicos” que começam a formar o recorte da meia-onda, e a soma completa S converge à forma exata da onda retificada meia-onda.

Resposta

As somas parciais são
S1(t)=1pi, S2(t)=1pi+12sin t, S3(t)=S2(t)-23picos2t, S4(t)=S3(t)-215picos4t
e a soma completa é
S(t)=1pi+12sin t-23picos2t-215picos4t-235picos6t-cdots

Exercícios de Livros Relacionados