19.17
Use o MATLAB para ajustar um spline cúbico aos seguintes dados:
x 0 2 4 7 10 12
y 20 20 12 7 6 6
Determine o valor de em .

Passo 1

O enunciado pede para interpolar os pontos
(xi,yi) = (0,20),,(2,20),,(4,12),,(7,7),,(10,6),,(12,6)
por um spline cúbico e então avaliar esse spline em x=1,5.
O método que usamos é o do natural cubic spline, que impõe M0=M5=0 (as segundas derivadas nos extremos são nulas).

Passo 2

Definimos os comprimentos dos subintervalos
hi = xi+1-xi, i=0,dots,4,
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h0=2, h1=2, h2=3, h3=3, h4=2
As segundas derivadas Mi=S''(xi) satisfazem, para i=1,2,3,4,
2(hi-1+hi),Mi ;+; hi-1,Mi-1;+;hi,Mi+1 ;=; 6l(tfracyi+1-yihi-tfracyi-yi-1hi-1r),
com as condições de contorno M0=0 e M5=0.

Passo 3

Escrevendo as quatro equações, usando os yi dados, obtemos
Para i=1:
8M1+2M2=-24
Para i=2:
2M1+10M2+3M3=14
Para i=3:
3M2+12M3+3M4=8
Para i=4:
3M3+10M4=2
Resolvendo esse sistema triangular (por eliminação de Gauss, por exemplo), achamos numericamente
M1approx -3,4886, M2approx 1,9548, M3approx 0,5008, M4approx 0,0498

Passo 4

No primeiro subintervalo [0,2], o spline é dado por
S(x)= underbraceM0,(x1-x)^36h0=0 + M1,(x-x0)^36h0 + y0-tfracM0h0^26h0(x1-x) + y1-tfracM1h0^26h0(x-x0),
onde x0=0, x1=2, h0=2, y0=y1=20 e M0=0, M1 dado acima.

Passo 5

Substituindo x=1,5 e os valores numéricos:
S(1,5) = -3,4886,(1,5)^36cdot2 + 20cdot2-1,52 + l(20-tfrac-3,4886cdot2^26r)1,52 approx 20,76

Resposta

y(1,5)approx20,76

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