9.7 Um ímã permanente, com a forma de um cilindro circular reto, de comprimento
e raio
, está orientado de maneira que seu eixo de simetria coincida com o eixo
. A origem de sistema de coordenadas está no centro do ímã. Se o cilindro tiver magnetização axial uniforme
, (a) determine
em pontos sobre o eixo de simetria, tanto dentro como fora do ímã e (b) use os resultados da parte (a) para encontrar a indução magnética
em pontos sobre o eixo de simetria, tanto dentro como fora do ímã.
Passo 1
O enunciado trata de um cilindro magnetizado axialmente com magnetização uniforme
ao longo do eixo
, de raio
e comprimento
, centrado na origem. Queremos achar o potencial escalar magnético
e, a partir dele, o campo
sobre o eixo de simetria, separando os casos dentro (
) e fora (
) do ímã. Para isso usaremos a fórmula do potencial produzido por cargas magnéticas de superfície
e, em seguida,
especialmente
.
Passo 2
Como
é uniforme, não há carga magnética volumétrica (
), mas há carga de superfície
nas duas faces circulares. No disco em
,
, logo
. No disco em
,
, logo
.
Passo 3
O potencial escalar magnético devido a uma densidade de carga de superfície
é
Somando as duas faces, sobre o eixo
:
onde cada
é o disco de raio
centrado em
.
Passo 4
O integral de um disco de raio
visto a uma distância
no eixo é
Logo, tomando
e
,
Passo 5
Agora separamos os casos de dentro e fora do cilindro:
(i) Fora,
:
,
.
(ii) Dentro,
:
,
.
Passo 6
O campo axial é
Usando
e ,
obtém-se fórmulas distintas para dentro e fora.
e
obtém-se fórmulas distintas para dentro e fora.
Passo 7
(i) Para
:
(ii) Para
:
(Para
surge sinal invertido análogo ao caso
.)
Resposta
(a)
Em particular, para
e para
(b)
]