Mostre que cada função é descontínua em (0,0).
f(x, y)=llxx-y & para x neq y 0 & para x=y

Passo 1

O enunciado define a função
e pede para mostrar que . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade: seria contínua em se
Mostraremos que esse limite não existe, examinando-o ao longo de duas curvas diferentes.

Passo 2

Considere a aproximação ao longo da reta . Para com , temos e, pela definição,
Logo, aproximando-se de por pontos da forma , o valor de permanece , e portanto

Passo 3

Agora considere a aproximação ao longo da reta com . Nesse caso (para ), então
Como isso independe de , ao levar obtemos
Em particular, se escolhermos , esse limite vale .

Passo 4

Observamos que pelas duas aproximações usamos resultados diferentes:
Como esses limites de caminho não coincidem, conclui-se que
não existe.

Resposta

A função f é descontínua em (0,0), pois o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) depende do caminho escolhido e, portanto, não existe.

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