Mostre que cada função é descontínua em (0,0).
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade:
seria contínua em
se
Mostraremos que esse limite não existe, examinando-o ao longo de duas curvas diferentes.
Passo 2
Considere a aproximação ao longo da reta
. Para
com
, temos
e, pela definição,
Logo, aproximando-se de
por pontos da forma
, o valor de
permanece
, e portanto
Passo 3
Agora considere a aproximação ao longo da reta
com
. Nesse caso
(para
), então
Como isso independe de
, ao levar
obtemos
Em particular, se escolhermos
, esse limite vale
.
Passo 4
Observamos que pelas duas aproximações usamos resultados diferentes:
Como esses limites de caminho não coincidem, conclui-se que
não existe.
Resposta
A função
f é descontínua em
(0,0) , pois o limite de
f(x,y) quando
(x,y)to(0,0) depende do caminho escolhido e, portanto, não existe.