Mostre que \mathbf{v}_{1}=(2,-1)^{t}, \mathbf{v}_{2}=(1,1)^{t} e \mathbf{v}_{3}=(1,3)^{t} são linearmente dependentes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os vetores \mathbf{v}_{1}=(2,-1)^{t}, \mathbf{v}_{2}=(1,1)^{t} e \mathbf{v}_{3}=(1,3)^{t}
em \mathbb{R}^2 são linearmente dependentes.
Isto significa que devemos encontrar escalares c_1,c_2,c_3, não todos zero, tais que
c_{1}\mathbf{v}_{1}+c_{2}\mathbf{v}_{2}+c_{3}\mathbf{v}_{3}=\mathbf{0}.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear em coordenadas, temos
c_{1}(2,-1) + c_{2}(1,1) + c_{3}(1,3) = (0,0).
Isso gera o sistema lineares das componentes x e y:
\begin{cases} 2c_{1} + c_{2} + c_{3} = 0,\\\\ -\,c_{1} + c_{2} + 3c_{3} = 0. \end{cases}

Passo 3

Para resolver o sistema, podemos usar c_{3} como parâmetro livre. Seja c_{3}=1.
Substituindo na primeira equação:
2c_{1} + c_{2} + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad c_{2} = -1 - 2c_{1}.

Passo 4

Agora plugamos c_{2}=-1-2c_{1} na segunda equação:
-\,c_{1} + (-1 - 2c_{1}) + 3\cdot 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -\,c_{1} -1 -2c_{1} +3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -3c_{1} +2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad c_{1} = \tfrac{2}{3}.
Então
c_{2} = -1 - 2\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr) = -1 - \tfrac{4}{3} = -\tfrac{7}{3}.

Passo 5

Encontramos, por exemplo,
c_{1}=\tfrac{2}{3},\quad c_{2}=-\tfrac{7}{3},\quad c_{3}=1,
não todos zero, tais que
\tfrac{2}{3}\mathbf{v}_{1} -\tfrac{7}{3}\mathbf{v}_{2} +1\cdot\mathbf{v}_{3} = \mathbf{0}.
Multiplicando tudo por 3 fica
2\mathbf{v}_{1} - 7\mathbf{v}_{2} + 3\mathbf{v}_{3} = \mathbf{0},
prova de que há uma relação linear não-trivial entre eles.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes pois
2\mathbf{v}_{1} \;-\; 7\mathbf{v}_{2} \;+\; 3\mathbf{v}_{3} \;=\;\mathbf{0}.

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