Utilize o Teorema do círculo de Geršgorin para determinar limitantes para (a) os autovalores e (b) os raios espectrais das matrizes.
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teorema de Gershgorin a fim de achar regiões no plano complexo que contenham todos os autovalores de
e, a partir daí, extrair um limite para o raio espectral
.
Passo 2
O Teorema de Geršgorin diz que todo autovalor de
pertence à união dos discos
Passo 3
Vamos calcular o centro
e o raio
de cada disco:
Para
:
,
logo
Para
:
,
logo
Para
:
,
logo
Para
:
,
logo
Passo 4
Como
é simétrica, todos os autovalores são reais e ficam nos intervalos
A união desses intervalos dá
Portanto, todo autovalor
de
satisfaz
Passo 5
O raio espectral
satisfaz a estimativa geral de Gershgorin
Resposta
(a) Todos os autovalores de
estão contidos no intervalo real
.
(b) O raio espectral satisfaz .
(b) O raio espectral satisfaz