Utilize o Teorema do círculo de Geršgorin para determinar limitantes para (a) os autovalores e (b) os raios espectrais das matrizes.
\left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 3 & 3 \\\\ 0 & 1 & 3 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema de Gershgorin a fim de achar regiões no plano complexo que contenham todos os autovalores de
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 2 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 3 & 3\\\\ 0 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}
e, a partir daí, extrair um limite para o raio espectral \rho(A).

Passo 2

O Teorema de Geršgorin diz que todo autovalor de A pertence à união dos discos
D_i = \bigl\{z\in\mathbb{C} : |z - a_{ii}|\le R_i\bigr\},\quad R_i = \sum_{j\neq i} |a_{ij}|.

Passo 3

Vamos calcular o centro a_{ii} e o raio R_i de cada disco:
Para i=1: a_{11}=1,
R_1 = |a_{12}|+|a_{13}|+|a_{14}| = 1+0+0 = 1,
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D_1 = \{z:|z-1|\le1\}.
Para i=2: a_{22}=2,
R_2 = |a_{21}|+|a_{23}|+|a_{24}| = 1+0+1 = 2,
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D_2 = \{z:|z-2|\le2\}.
Para i=3: a_{33}=3,
R_3 = |a_{31}|+|a_{32}|+|a_{34}| = 0+0+3 = 3,
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D_3 = \{z:|z-3|\le3\}.
Para i=4: a_{44}=2,
R_4 = |a_{41}|+|a_{42}|+|a_{43}| = 0+1+3 = 4,
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D_4 = \{z:|z-2|\le4\}.

Passo 4

Como A é simétrica, todos os autovalores são reais e ficam nos intervalos
D_1\cap\mathbb{R} = [1-1,1+1]=[0,2],\quad D_2\cap\mathbb{R} = [0,4],
D_3\cap\mathbb{R} = [0,6],\quad D_4\cap\mathbb{R} = [-2,6].
A união desses intervalos dá
\bigcup_{i=1}^4 (D_i\cap\mathbb{R}) = [-2,6].
Portanto, todo autovalor \lambda de A satisfaz
-2 \le \lambda \le 6.

Passo 5

O raio espectral \rho(A)=\max|\lambda_i| satisfaz a estimativa geral de Gershgorin
\rho(A)\le\max_{1\le i\le4}\bigl(|a_{ii}|+R_i\bigr) =\max\{1+1,\;2+2,\;3+3,\;2+4\}=6.

Resposta

(a) Todos os autovalores de A estão contidos no intervalo real [-2,6].
(b) O raio espectral satisfaz \rho(A)\le6.

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