O problema de valor inicial
y^{\prime}=e^{y}, \quad 0 \leq t \leq 0,20, \quad y(0)=1
tem a solução
y(t)=1-\ln (1-e t) .
Aplicar o método de Adams-Moulton de três passos a este problema é equivalente a encontrar o ponto fixo w_{i+1} de
g(w)=w_{i}+\frac{h}{24}\left(9 e^{w}+19 e^{w i}-5 e^{w_{i}-1}+e^{w_{i}-2}\right) .

Passo 1

Temos o problema de valor inicial
y'=e^y,\quad y(0)=1,
e queremos aproximar a solução em passos de tamanho h usando o método de Adams–Moulton de três passos, que é um método implícito multistep. Para aplicá-lo, vamos precisar da fórmula geral do Adams–Moulton de ordem três e da função f(t,y)=e^y.

Passo 2

A fórmula do Adams–Moulton de três passos é, para i\ge2,
w_{i+1} = w_i + \frac{h}{24}\Bigl(9\,f(t_{i+1},w_{i+1}) +19\,f(t_i,w_i) -5\,f(t_{i-1},w_{i-1}) +1\,f(t_{i-2},w_{i-2})\Bigr).

Passo 3

No nosso caso f(t,y)=e^y não depende explicitamente de t. Substituindo, obtemos
w_{i+1} = w_i + \frac{h}{24}\bigl(9\,e^{w_{i+1}} +19\,e^{w_i} -5\,e^{w_{i-1}} +e^{w_{i-2}}\bigr).

Passo 4

Como esse método é implícito em w_{i+1}, definimos a iteração de ponto‐fixo
w = g(w)
com
g(w) = w_i + \frac{h}{24}\bigl(9\,e^{w} +19\,e^{w_i} -5\,e^{w_{i-1}} +e^{w_{i-2}}\bigr).
Assim, encontrar w_{i+1} pelo Adams–Moulton de três passos equivale a resolver w = g(w).

Resposta

g(w) = w_i + \frac{h}{24}\bigl(9\,e^{w} +19\,e^{w_i} -5\,e^{w_{i-1}} +e^{w_{i-2}}\bigr).

Exercícios de Livros Relacionados