Use todos os métodos de Adams-Bashforth para encontrar aproximações das soluções dos problemas de valor inicial. Em cada caso, use valores iniciais obtidos a partir do método de Runge-Kutta de quarta ordem. Compare os resultados com os valores reais.
y^{\prime}=\cos 2 t+\operatorname{sen} 3 t, \quad 0 \leq t \leq 1, \quad y(0)=1, \operatorname{com} h=0,2; solução real y(t)=\frac{1}{2} \operatorname{sen} 2 t-\frac{1}{3} \cos 3 t+\frac{4}{3}.

Passo 1

O problema pede a aplicação de todos os métodos de Adams–Bashforth (ordens 1 a 4) para aproximar a solução do problema de valor inicial
y' = \cos(2t) + \operatorname{sen}(3t),\quad 0 \le t \le 1,\quad y(0)=1,
com passo h=0,2. Para cada método multistep precisamos de valores iniciais que obtivemos pelo método de Runge–Kutta de quarta ordem (RK4). Ao final, comparamos cada sequência de aproximações com a solução exata
y(t)=\tfrac12\operatorname{sen}(2t)\;-\;\tfrac13\cos(3t)\;+\;\tfrac43.

Passo 2

Usamos RK4 com h=0,2 para calcular \;y_1,\;y_2,\;y_3,\;y_4
– em cada passo:
k_1=f(t_n,y_n),\quad k_2=f\bigl(t_n+\tfrac h2,\;y_n+\tfrac h2\,k_1\bigr),\; k_3=f\bigl(t_n+\tfrac h2,\;y_n+\tfrac h2\,k_2\bigr),\; k_4=f(t_n+h,\;y_n+h\,k_3),
y_{n+1}=y_n+\frac h6\,(k_1+2k_2+2k_3+k_4).
Os resultados numéricos são aproximadamente
y_0=1,\; y_1\approx1,252947,\; y_2\approx1,571263,\; y_3\approx1,875136,\; y_4\approx2,078976.

Passo 3

Calculamos a solução exata em t_i=0,0{,}2,0{,}4,0{,}6,0{,}8,1{,}0 por
y(t_i)=\tfrac12\operatorname{sen}(2t_i)-\tfrac13\cos(3t_i)+\tfrac43,
obtendo
\begin{aligned} y_{\rm ex}(0)&=1{,}000000,\\\ y_{\rm ex}(0{,}2)&\approx1{,}252931,\\\ y_{\rm ex}(0{,}4)&\approx1{,}571225,\\\ y_{\rm ex}(0{,}6)&\approx1{,}875086,\\\ y_{\rm ex}(0{,}8)&\approx2{,}078918,\\\ y_{\rm ex}(1{,}0)&\approx2{,}117978. \end{aligned}

Passo 4

Adams–Bashforth de ordem 1 (Euler explícito):
y_{n+1}=y_n + h\,f(t_n,y_n).
Com y_0=1 e f(t,y)=\cos(2t)+\operatorname{sen}(3t), obtemos
\begin{aligned} y_1&=1+0{,}2\cdot1 =1{,}200000,\\\ y_2&=1{,}200000+0{,}2\cdot1{,}486046\approx1{,}497209,\\\ y_3&\approx1{,}497209+0{,}2\cdot1{,}628798\approx1{,}822959,\\\ y_4&\approx1{,}822959+0{,}2\cdot1{,}336206\approx2{,}090201,\\\ y_5&\approx2{,}090201+0{,}2\cdot1{,}033176\approx2{,}296834. \end{aligned}
No ponto final t=1 o erro é \;|2{,}296834-2{,}117978|\approx0{,}178856.

Passo 5

Adams–Bashforth de ordem 2:
y_{n+1}=y_n + \frac h2\,(3f_n-f_{n-1}).
Usamos y_0,y_1 de RK4 e f_k=f(t_k,y_k).
\begin{aligned} y_2&=1{,}252947+0{,}1\,(3\cdot1{,}486046-1)=1{,}598761,\\\ y_3&\approx1{,}598761+0{,}1\,(3\cdot1{,}628798-1{,}486046)=1{,}938996,\\\ y_4&\approx1{,}938996+0{,}1\,(3\cdot1{,}336206-1{,}628798)=2{,}176178,\\\ y_5&\approx2{,}176178+0{,}1\,(3\cdot1{,}033176-1{,}336206)=2{,}352510. \end{aligned}
Erro em t=1: \;|2{,}352510-2{,}117978|\approx0{,}234532.

Passo 6

Adams–Bashforth de ordem 3:
y_{n+1}=y_n+\frac h{12}\,(23f_n-16f_{n-1}+5f_{n-2}).
Com y_0,y_1,y_2 de RK4:
\begin{aligned} y_3&=1{,}571263+0{,}0166667\,(23\cdot1{,}628798-16\cdot1{,}486046+5\cdot1)=1{,}882507,\\\ y_4&\approx1{,}882507+0{,}0166667\,(23\cdot1{,}336206-16\cdot1{,}628798+5\cdot1{,}486046)=2{,}084210,\\\ y_5&\approx2{,}084210+0{,}0166667\,(23\cdot1{,}033176-16\cdot1{,}336206+5\cdot1{,}628798)=2{,}259672. \end{aligned}
Erro em t=1: \;|2{,}259672-2{,}117978|\approx0{,}141694.

Passo 7

Adams–Bashforth de ordem 4:
y_{n+1}=y_n+\frac h{24}\,(55f_n-59f_{n-1}+37f_{n-2}-9f_{n-3}).
Com y_0,y_1,y_2,y_3 de RK4:
\begin{aligned} y_4&=1{,}875136+0{,}00833333\,(55\cdot1{,}336206-59\cdot1{,}628798+37\cdot1{,}486046-9\cdot1)=2{,}062494,\\\ y_5&\approx2{,}062494+0{,}00833333\,(55\cdot0{,}646263-59\cdot1{,}336206+37\cdot1{,}628798-9\cdot1{,}486046)=2{,}092231. \end{aligned}
Erro em t=1: \;|2{,}092231-2{,}117978|\approx0{,}025747.

Resposta

No ponto t=1 os erros são:
– AB1: 0,178856
– AB2: 0,234532
– AB3: 0,141694
– AB4: 0,025747
Logo, quanto maior a ordem de Adams–Bashforth, melhor a aproximação, sendo a ordem 4 a mais precisa neste caso.

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