Nos problemas de 9 a 14, (a) calcule o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (0,0) ao longo de cada um dos caminhos indicados em (i), (ii), (iii) e (iv), e (b) determine lim (x, y) 10,0) f(x, y), se existir.
11 f(x, y)=x yx^2+y^2 quando (x, y) tende a (0,0) (i) ao longo do eixo dos x, (ii) ao longo do eixo dos y, (iii) ao longo da reta y=x, (iv) ao longo da reta y=m x

Passo 1

O enunciado pede para estudar o comportamento da função
f(x,y)=x,yx^2+y^2
quando (x,y)to(0,0). Em (a) devemos seguir quatro caminhos distintos até (0,0):
(i) eixo dos x, (ii) eixo dos y, (iii) reta y=x e (iv) reta y=m,x. Em (b) verificar se existe um limite único em todas as direções.

Passo 2

(i) Ao longo do eixo dos x, temos y=0. Substituindo em f:
f(x,0)=xcdot0x^2+0^2=0
Logo
lim(x,0)to(0,0)f(x,0)=0

Passo 3

(ii) Ao longo do eixo dos y, temos x=0. Substituindo em f:
f(0,y)=0cdot y0^2+y^2=0
Logo
lim(0,y)to(0,0)f(0,y)=0

Passo 4

(iii) Ao longo da reta y=x, substituímos y=x:
f(x,x)=xcdot xx^2+x^2 =x^22x^2 =12(xneq0)
Portanto
limxto0f(x,x)=12

Passo 5

(iv) Ao longo da reta y=m,x (com m constante), temos
fl(x,mxr) =x,(m,x)x^2+(m,x)^2 =m,x^2x^2(1+m^2) =m1+m^2(xneq0)
Logo
limxto0fl(x,mxr) =m1+m^2

Passo 6

Como os limites em (i) e (ii) são 0, mas em (iii) é tfrac12 e em (iv) depende de m, não há um único valor quando (x,y)to(0,0) por caminhos gerais. Portanto o limite não existe.

Resposta

(a)
(i) 0
(ii) 0
(iii) tfrac12
(iv) m1+m^2
(b) O limite lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe.

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