Nos problemas de 1 a 12 (a) calcule partial^2 fpartial x^2 , (b) calcule partial^2 fpartial y^2 , (c) calcule
partial fpartial y partial x , (d) calcule partial^2 fpartial x partial y , e (e) verifique que partial^2 fpartial y partial x=partial^2 fpartial x partial y .
f(x, y)=(x^2+y^2)^3 / 2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y) = l(x^2 + y^2r)^3/2
e pede várias derivadas parciais de segunda ordem.
O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia e, quando necessário, do produto.

Passo 2

Primeiro achamos a derivada parcial de primeira ordem em x. Defina u = x^2 + y^2, de modo que f = u^3/2. Então
partial fpartial x = 32,u^1/2cdotpartial upartial x = 32,(x^2+y^2)^1/2cdot 2x = 3x,(x^2+y^2)^1/2

Passo 3

Agora derivamos partial f/partial x em x para obter partial^2 f/partial x^2. Usando produto e cadeia:
partial^2 fpartial x^2 = partialpartial xl[3x,(x^2+y^2)^1/2r] = 3,(x^2+y^2)^1/2 +3xcdot12,(x^2+y^2)^-1/2cdot2x
Simplificando,
partial^2 fpartial x^2 =3,(x^2+y^2)^1/2 + 3,x^2(x^2+y^2)^1/2 =3,(x^2+y^2)+x^2(x^2+y^2)^1/2 =3,2x^2+y^2(x^2+y^2)^1/2

Passo 4

De modo análogo, calculamos a derivada parcial em y:
partial fpartial y = 32,(x^2+y^2)^1/2cdot2y =3y,(x^2+y^2)^1/2

Passo 5

Derivando partial f/partial y em y para achar partial^2 f/partial y^2:
partial^2 fpartial y^2 = partialpartial yl[3y,(x^2+y^2)^1/2r] =3,(x^2+y^2)^1/2 +3ycdot12,(x^2+y^2)^-1/2cdot2y
=3,(x^2+y^2)^1/2 +3,y^2(x^2+y^2)^1/2 =3,(x^2+y^2)+y^2(x^2+y^2)^1/2 =3,x^2+2y^2(x^2+y^2)^1/2

Passo 6

Para a derivada mista partial^2 f/(partial ypartial x), derivamos partial f/partial x = 3x,(x^2+y^2)^1/2 em y:
partial^2 fpartial ypartial x =3xcdot12,(x^2+y^2)^-1/2cdot2y =3xy,(x^2+y^2)^-1/2

Passo 7

Para partial^2 f/(partial xpartial y), derivamos partial f/partial y = 3y,(x^2+y^2)^1/2 em x:
partial^2 fpartial xpartial y =3ycdot12,(x^2+y^2)^-1/2cdot2x =3xy,(x^2+y^2)^-1/2

Passo 8

Comparando as derivadas mistas, vemos que
partial^2 fpartial ypartial x =partial^2 fpartial xpartial y,
o que completa a verificação da igualdade.

Resposta

(a) partial^2 fpartial x^2=3,2x^2+y^2(x^2+y^2)^1/2.
(b) partial^2 fpartial y^2=3,x^2+2y^2(x^2+y^2)^1/2.
(c) partial^2 fpartial ypartial x=3,xy(x^2+y^2)^1/2.
(d) partial^2 fpartial xpartial y=3,xy(x^2+y^2)^1/2.
(e) partial^2 fpartial ypartial x=partial^2 fpartial xpartial y

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