Nos problemas de 1 a 12 (a) calcule
, (b) calcule
, (c) calcule
, (d) calcule
, e (e) verifique que
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede várias derivadas parciais de segunda ordem.
O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia e, quando necessário, do produto.
O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia e, quando necessário, do produto.
Passo 2
Primeiro achamos a derivada parcial de primeira ordem em
. Defina
, de modo que
. Então
Passo 3
Agora derivamos
em
para obter
. Usando produto e cadeia:
Simplificando,
Passo 4
De modo análogo, calculamos a derivada parcial em
:
Passo 5
Derivando
em
para achar
:
Passo 6
Para a derivada mista
, derivamos
em
:
Passo 7
Para
, derivamos
em
:
Passo 8
Comparando as derivadas mistas, vemos que
o que completa a verificação da igualdade.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(d) .
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)