Nos problemas 9 e 10, um campo escalar z=f(x, y) é dado no plano x y. Encontre a taxa de variação desse campo escalar quando nos movemos da direita para esquerda a partir do ponto
(x_{0}, y_{0}) dado ao longo da reta que faz o ângulo \theta indicado com o eixo positivo dos x.
z=3 x^{2}-x y+3 y,(x_{0}, y_{0})=(3,1), \theta=\pi / 4.
z=3 x^{2}-x y+3 y,(x_{0}, y_{0})=(3,1), \theta=\pi / 4.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos o campo escalar
dado por
o ponto
e a reta que faz
com o eixo
. Queremos a taxa de variação de
ao nos movermos da direita para a esquerda ao longo dessa reta, ou seja, a derivada direcional de
na direção oposta a
.
Passo 2
A derivada direcional de
num ponto é dada por
onde
é um vetor unitário. Aqui, como queremos ir da direita para a esquerda ao longo do ângulo
, escolhemos
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
:
Passo 4
Agora avaliamos
em
:
Passo 5
Como
, temos
, logo
Portanto a derivada direcional é
Resposta
A taxa de variação de
na direção indicada é
.