Nos problemas 9 e 10, um campo escalar z=f(x, y) é dado no plano x y. Encontre a taxa de variação desse campo escalar quando nos movemos da direita para esquerda a partir do ponto
(x_{0}, y_{0}) dado ao longo da reta que faz o ângulo \theta indicado com o eixo positivo dos x.
z=3 x^{2}-x y+3 y,(x_{0}, y_{0})=(3,1), \theta=\pi / 4.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos o campo escalar z=f(x,y) dado por
f(x,y)=3x^2-x,y+3y,
o ponto (x0,y0)=(3,1) e a reta que faz theta=pi/4 com o eixo x. Queremos a taxa de variação de f ao nos movermos da direita para a esquerda ao longo dessa reta, ou seja, a derivada direcional de f na direção oposta a (costheta,sintheta).

Passo 2

A derivada direcional de f num ponto é dada por
Duf(p)=nabla f(p)cdotu,
onde u é um vetor unitário. Aqui, como queremos ir da direita para a esquerda ao longo do ângulo theta, escolhemos
u=(-costheta,,-sintheta)

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de f:
nabla f(x,y) =l(partial fpartial x,,partial fpartial yr) =(6x-y,,-x+3)

Passo 4

Agora avaliamos nabla f em (3,1):
nabla f(3,1)=(6cdot3-1,,-3+3)=(17,0)

Passo 5

Como theta=pi/4, temos costheta=sintheta=tfracraiz22, logo
u=l(-tfracraiz22,,-tfracraiz22r)
Portanto a derivada direcional é
Duf(3,1) =(17,0)cdotl(-tfracraiz22,,-tfracraiz22r) =-17,raiz22

Resposta

A taxa de variação de f na direção indicada é -tfrac17raiz22.

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