Nos problemas 9 e 10, um campo escalar z=f(x, y) é dado no plano x y. Encontre a taxa de variação desse campo escalar quando nos movemos da direita para esquerda a partir do ponto
(x_{0}, y_{0}) dado ao longo da reta que faz o ângulo \theta indicado com o eixo positivo dos x.
z=e{-y{2}} \cos x,(x_{0}, y_{0})=(\pi, 1), 0=\pi / 6).

Passo 1

O enunciado dá o campo escalar
z = f(x,y) = e^-y^2cos x
e pede a taxa de variação de f no ponto (x0,y0)=(pi,1) ao longo da reta que faz ângulo theta=pi/6 com o eixo x, mas no sentido da direita para a esquerda. Vamos usar derivada direcional.

Passo 2

A derivada direcional de f na direção do vetor unitário u é
Duf(x0,y0) =nabla f(x0,y0)cdotu
Precisamos calcular nabla f e o vetor unitário u correspondente ao movimento da direita para a esquerda.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=e^-y^2cos x:
partial fpartial x =-e^-y^2sin x, partial fpartial y =-2y,e^-y^2cos x

Passo 4

Avaliar nabla f em (pi,1). Como sinpi=0 e cospi=-1,
partial fpartial x(pi,1) =-e^-1cdot0=0, partial fpartial y(pi,1) =-2cdot1cdot e^-1cdot(-1) =2e^-1
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nabla f(pi,1) = l(0,;2e^-1r)

Passo 5

Determinar o vetor unitário u. A reta faz ângulo theta=pi/6 com o eixo x, então o vetor no sentido positivo de x seria l(costheta,sinthetar). Mas queremos o sentido da direita para a esquerda, ou seja, o inverso:
u =l(-cos(pi/6),,-sin(pi/6)r) =l(-tfracraiz32,,-tfrac12r),
que já é unitário.

Passo 6

Calcular a derivada direcional:
Duf(pi,1) =nabla f(pi,1)cdotu =(0,,2e^-1)cdotl(-tfracraiz32,,-tfrac12r) =0cdotl(-tfracraiz32r) +2e^-1cdotl(-tfrac12r) =-e^-1

Resposta

-e^-1

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