Nos problemas 9 e 10, um campo escalar z=f(x, y) é dado no plano x y. Encontre a taxa de variação desse campo escalar quando nos movemos da direita para esquerda a partir do ponto
(x_{0}, y_{0}) dado ao longo da reta que faz o ângulo \theta indicado com o eixo positivo dos x.
z=e{-y{2}} \cos x,(x_{0}, y_{0})=(\pi, 1), 0=\pi / 6).
z=e{-y{2}} \cos x,(x_{0}, y_{0})=(\pi, 1), 0=\pi / 6).
Passo 1
O enunciado dá o campo escalar
e pede a taxa de variação de
no ponto
ao longo da reta que faz ângulo
com o eixo
, mas no sentido da direita para a esquerda. Vamos usar derivada direcional.
Passo 2
A derivada direcional de
na direção do vetor unitário
é
Precisamos calcular
e o vetor unitário
correspondente ao movimento da direita para a esquerda.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
:
Passo 4
Avaliar
em
. Como
e
,
Logo
Passo 5
Determinar o vetor unitário
. A reta faz ângulo
com o eixo
, então o vetor no sentido positivo de
seria
. Mas queremos o sentido da direita para a esquerda, ou seja, o inverso:
que já é unitário.
Passo 6
Calcular a derivada direcional: